1. گفتگوهایی دربارهٔ زبان ریاضی در برابر زبان بشری؛ امیرحسین اکبرطباطبایی، جعفر خداقلی، آرش رستگار، مهرک شیرخانی، سامان فرحت، سام نریمان

2. گفتگوهایی انتقادی دربارهٔ ریاضیات-قسمت دوم- نقد و تشویق ترکیبیات؛ امیرحسین اکبرطباطبایی، آرش رستگار

گفتگوهایی انتقادی دربارهٔ ریاضیات-قسمت دوم- نقد و تشویق ترکیبیات؛ امیرحسین اکبرطباطبایی، آرش رستگار

 

پیاده‌سازی و بازنویسی: کاوه قبادی، سامان فرحت

آرش رستگار: ۳+۳ ترکیبیات- سه تا نظریه‌ی خوب در ترکیبیات بگویم. به نظر من، نظریه هایمن بس و این‌که می‌آید برای کارهای خودش به جز این‌که trace لاپلاسین را در نظر می‌گیرد و برای کارهای خودش یک trace ناجابجایی تعریف می‌کند که بعداً الن کن با این trace ناجابجایی معجزه می‌کند، واقعا برجسته است و یادآوری می‌کنم که هایمن بس جبردان بود، و بعد به خودم یادآوری می‌کنم، این یعنی جبردان. کویلن یعنی جبردان. هایمن بس یعنی جبردان. جی پی سر یعنی جبردان. اگر بخواهم از کارهای خوبی که انجام شده صحبت کنم، یک مثال دیگر ارتباطی است که گراف‌های ribbon با سطوح ریمانی دارند و سعی می‌کنند که همه چیز سطوح ریمانی را به زبان آن گراف‌های ریبون بیان کنند. البته گراف‌ها در کارهای کانتسویچ incarnation های زیادی دارند، و هیچ‌وقت این گونه نیست که با یکی دوتا گراف کار کند، و با یک عالمی‌از گراف‌ها کار می‌کند. این دو مثال. چهار مثال آماده کرده بودم از این‌که چه چیزهایی در ترکیبیات بوده که از آن خیلی خوشحال هستم، یکی را فراموش کردم. سومی‌ تناظر لنگلندز به پیمانه p هست که به سفارش خود ژان پیر سر به‌وجود آمده است. حالا نوبت می‌رسد به نقد، بگویم که چه چیزهایی باید باشد و نیست. اولا که چرا ساختارها را مطالعه نمی‌کنید؟ شما باید مورفیسم بین آبجکت‌هایتان را تعریف کنید. مورفیسم را که تعریف کنید، می‌توان حد گرفت، می‌توان فنومن‌ها را بررسی کرد. مثلا بلاک دیزاین را در نظر بگیرید، مورفیسم بلاک دیزاین مهم است، جمع مستقیم بلاک دیزاین مهم است، آن‌هایی که split نمی‌شوند مهم است و مانند این که دیگر معلوم است چه چیزهایی است. پس اولا شما باید ساختار را مطالعه کنید و مورفیسم‌های بین ساختارها و دنباله‌های مورفیسم‌ها را و مورفیسم‌های split و nonsplit و... یک عالمه از این چیزها هست که باید مطالعه شود. این یکی. دومی‌ این‌ که شما دیفورمیشن ندارید. در آن ایده فضای پیمانه‌ای گراف‌ها که من داشتم، درواقع ایده این بود که دیفورمیشن‌های گسسته آبجکت‌های ترکیبیاتی مطالعه شوند، که واقعا چنین تمی‌ در ترکیبیات اصلا وجود ندارد. سومی‌ این‌ که چرا فکر می‌کنید که ترکیبیات‌دان باید آبجکت‌های متناهی را بررسی کند؟ شما باید همه کاردینالیتی‌ها را بررسی کنید. اگر خوب به شناختتان نگاه کنید، می‌بینید که شناختتان برای همین کار ساخته شده است که ساختارهای ریاضی را در کاردینالیتی‌های مختلف بررسی کنید. مثلا یک سری از حدس‌های جبری هست که محمد گلشنی با یک جبردان بسیار برجسته‌ای به اسم محسن اصغرزاده در مقالاتشان دارند می‌نویسند. و اگر بخواهم بهتر بگویم، شلاح یک ترکیبیات‌دان بزرگ است، به یک معنی. به این معنی، نظریه مجموعه‌ها، همه‌اش جزو ترکیبیات است. خب این که انجام شده است. ولی شما چرا این را از خودتان حساب نمی‌کنید؟ معلوم است چرا، چون می‌شود سرور سرور سرورتان و نمی‌خواهید که کسی سرور سرور سرورتان باشد. نشان به آن نشان که بین کارهای شلاح، کارهای ترکیبیاتی هم هست. همان ساختار شناختی هست که ترکیبیات را انجام می‌دهد. پس چه ترکیبیاتی باید باشد؟ دیفورمیشن گسسته آبجکت‌های ترکیبیاتی، مورفیسم‌های آبجکت‌های ترکیبیاتی که هر کدامشان به یک عالمه ریاضیات منجر می‌‌شود و سومی‌ هم انجام دادن ریاضیات در تمام کاردینالیتی‌ها، در کاردینالیتی‌های غیرمتعارف، مثل نظریه مجموعه‌ها. انجام دادن ریاضیات در کاردینالیتی‌های غیرمتعارف باید جزو ترکیبیات محسوب شود. و مردم باید انجام بدهند و شلاح و همکارانش انجام می‌دهند. او یک نفری به اندازه یک کشور کار می‌کند. حتی هیچ کسی نیست بگوید آفرین! تو با یک دید و برداشتی بزرگترین ریاضیدان قرن بیستم هستی. از یک جایی بایستیم و نگاه کنیم، این‌طور هست دیگر. ولی دریغ از یک نفر که قدر شلاح را بداند.

 

امیرحسین اکبرطباطبایی: توضیحات بیشتر و دقیق‌تر- به‌به دست شما درد نکند. حالا من می‌خواهم که شما را متوقف کنم و سرعتتان را کمی‌ کاهش بدهم. با سوء استفاده از اتوریته‌ای که به من داده‌اید، می‌خواهم که مخاطبم را هم در نظر بگیرم با این کار. الان اگر یک مخاطب عام یا حتی دانش‌اموخته‌ی ریاضی هم داشته باشیم، این‌ها را که از شما می‌شنود، خوشحال می‌شود، اول یک حسی از توضیحات شما می‌گیرد که این‌ها یعنی چه؟ بعد از شما می‌خواهد که این‌ها را برایش باز کنید چرا که نکاتی که می‌گویید خیلی هم ساده نیستند. بنابراین به نمایندگی از مخاطب فرضیمان از شما می‌خواهم که اول این سه کار خوبی که در ترکیبیات انجام شده و در مرحله‌‌ی بعد سه تا کاری که باید انجام بشود، را باز کنید. یعنی به شکل اکسپوزیتوری یک توضیح کوچکی به مخاطب مربوطه بدهید که این چیست، و این چه فایده‌ای داشته، و چه کلکی در آن سوار می‌کنند و مثلا این سرش به آن سرش چه ربطی دارد و چه تکنیک‌هایی به کار برده‌اند. این‌ها را یک ذره باز کنید که مخاطبی که می‌شنود، یک حسی بگیرد، حتی اگر نامتخصص باشد. مثلا یکی از کارهای انجام‌شده درباره‌ی ترکیبیات نامتناهی شلاح و از این دست کارهاست. این به نظرم تا حدی مشخص است که ترکیبیات نامتناهی مد نظر شما چیست. ولی طبیعتا مثال‌های دیگری هم هست که آن‌قدرها روشن نیست یا مثلاً در مورد آن سه تایی انجام نشده، فکر می‌کنم دیفورمیشن اصلا جایی است که ما باید فرود بیاییم و کمی‌ درباره‌ی آن حرف بزنیم. آن‌طور که من فهمیدم، در نظرگاه شما دیفورمیشن نقش کلیدی دارد بالاخص به عنوان کار ریاضیاتی‌ای که انجام نشده است. مدام به آن ارجاع می‌دهید که این ترکیبیات دیفورمیشن‌اش انجام نشده یا در هندسه دیفورمیشن مهم است، در جبر چون میدان صلب است نمی‌شود دیفورمش کرد و این‌ها باید عقل داشته باشند و بروند سراغ دیفورمیشن skew-field و... به نظرم این‌ها را اندکی اگر توضیح بدهید، خوب می‌شود و همین‌طور رفت و برگشتی صحبت کنیم و من همین قدر که می‌فهمم که زیاد هم نیست در جایگاه مخاطب بنشینم و سوال بپرسم تا سر در بیاوریم که چیزهای مهم در حواشی این عوالم چیست و همان‌طور که گفتم یک جاهایی سلیقه‌ی خودم را هم اعمال کنم و آن جاهایی که به نظرم بیشتر به درد منِ مخاطب با اطلاعاتی عمومی‌ از ریاضی می‌خورد، یا مثلا به لحاظ فلسفی جالب‌تر است و... فرود بیایم. در مورد آن مباحثات اولیه درباره‌ی ترکیبیات هم یک سری نکته‌ها هست که من دوست داشتم بپرسم و این‌جا خواهم پرسید. اما نمی‌دانم که کار درست این است که من اول سوالاتم را بپرسم یا شما اول این‌ها را توضیح بدهید. بستگی به فرمت و جزییات و این‌ها دارد. بگذارید من اول سوالم را بپرسم. فکر می‌کنم دست‌کم یکی از سوالاتم، نسبت به بقیه کمی‌ عمیق‌تر و به ریشه‌ها نزدیکتر است تا به کاربردها و تکنیک‌ها. بنابراین منطقی است که اول در مورد این سوال حرف بزنیم. اگر موافق باشید بهتر است که این‌ها را باز کنیم، کلی در این مورد مردم چیز یاد می‌گیرند. حالا من وسط‌هایش می‌خواهم فضولی هم بکنم و بگویم که حالا هرجا خودتان به نظرتان آمد یک چیز اکسپوزیتوری هم معرفی کنید که مخاطب برود آن‌ها را ببیند، و اگر مثلا سواد لیسانس ریاضی هم داشت، بتواند از مطلب سر در بیاورد. و اما سوالم. یک جایی به قشنگی می‌گویید که وایلز یک ساختمانی معرفی می‌کند که مربوط به یونیورسالیتی است و یک سری کانستراکشن و بعد می‌گویید که وایلز به این می‌گوید شمارش و این عمیق است و مثلا گروتندیک به این ‌نمی‌گوید شمارش، میزور به این نمی‌گوید شمارش و این را تحسین می‌کنید که وایلز هرچند که به لحاظ فلسفی آدم عمیقی است، ولی لیدر فیلد نیست، و این خودش یک حرفی است که آدم به این بگوید شمارش. شمارش این همه سال تاریخ دارد. به نظرتان این را ممکن است بخواهید باز کنید؟ این تصمیمش با شماست. ولی این وسط یک حرفی می‌زنید که شنیدنی است. این حرف را با فونت بولد بخوانید. می‌گویید که مفهوم شمارش در تاریخ تعمیق شده نسبت به آنی که قبلا بوده. من از شما می‌خواهم که اگر ممکن است بیایید کمی‌ درباره‌ی این تعمیق شده‌های مفهوم شمارش، یا اگر چند نمونه می‌شناسید و دوست دارید، یا اصلا یک نمونه‌ی اعلی که همین وایلز باشد را به زبان ریاضی، ولی به بیانی عامه‌فهم، برای ما توضیح بدهید که به چه معنی تعمیق شده و کجاها تعمیق شده و کجاها می‌شود از این‌ها پیدا کرد؟ و چرا فکر می‌کنید این یک سری فن نیست، و یک درک عمیق‌تری از شمارش به ما می‌دهد که در ترکیبیات غایب است؟ پس بیایید بگویید که شمارش به چه مفهومی‌ تعمیق شده، ولی هم‌زمان می‌خواهم که بحث از یک طرف در ریاضی باقی بماند و از طرف دیگر توجه کنیم که مخاطبمان ممکن است چیز زیادی نداند. درس خوبی خوانده، ولی متخصص هندسه‌ی جبری و هندسه‌ی اعداد و هندسه‌ی حسابی و این‌ها نیست. با روشی که بلد هستید و با حال فلسفی برای من نابلد توضیح بدهید که بدانم از این بحث چه چیزی می‌توانم به خانه ببرم.

 

آرش رستگار: درباره‌ی دگردیسی- و اما راجع به دیفورمیشن. حالا که راجع به دیفورمیشن صحبت کردم، کمی‌ هم راجع به هندسه‌ای که شما دارید می‌خوانید صحبت می‌کنم. قبلاً گفتم که به نظر من مفاهیم لوکال و گلوبال و مفاهیم جزء و کل به یک معنایی در ساختار ذهن ما دوگان هستند. یعنی می‌شود روی یک فضای مدولی حرکت کرد که مفهوم کل برود به جای جزء و جزء برود به جای کل، مثل همان رویایی که دکتر رنجبر مطلق ICTP راجع به بوزونیک فرمیونیک سیمتری داشت. شما در هندسه‌تان دوست دارید مفاهیم لوکال و گلوبال به همین معنا که هست، یک طوری وجود داشته باشند و این هم خوب است، این هم می‌شود یک سفارش. حالا ببینیم با این سفارش چه می‌شود گفت. اگه ما مفهوم لوکال داریم، به این معنی که نقاطی که نزدیک به هم هستند معنی دارند، معنای استعاره‌ایش می‌شود آبجکت‌هایی که شبیه به هم هستند، "نزدیک" می‌شود همان "شبیه" در استعاره ذهن، در آن مقاله دست‌نویسی که نوشتم هست. بنابراین در واقع یک طوری انگاری که این هندسه‌ها فضاهای مدولی هستند و با تغییرات کمی، اگر شما آن اشیاء یونیورسال در فایبر را تغییر بدهید و حرکت بدهید، با تغییرات کمی، بقیه آبجکت‌های نزدیکش را به دست می‌آورید. آن‌ها به این معنی به‌هم نزدیک‌اند، نه به معنای فاصله. استراکچرشون با دیفورمیشن کمی‌ به دست می‌آید که آن هم باز می‌شود به معنای فاصله هم برگرداند، ولی طوری نیست. این را شما می‌گویید هندسه و خیلی هم چیز خوبیست، تعریف خوبیست، و به همان ایده دیفرمیشن هم مربوط می‌شود. برای همین من این حرف‌ها را گفتم و می‌خواهم راجع به دیفورمیشن صحبت کنم. تاریخ این مسئله این است که مسئله تغییر و ثبوته، و دموکراتیوس و پارمنیدس هست، و مسئله جوهر و عرض است، و این‌که یک شیء یک چیزهایش ثابت باشد و یک چیزهایش تغییر کند و بعد ما بگوییم چون آن چیزهایش ثابت هستند همان شیء است و چون آن چیزهایش تغییر کرده، دیفرم شده. بنابراین مثلاً دیفورمیشن ساختار مختلط و دیفرمیشن ساختار هموار روی منیفلد شبیه همین می‌شوند. یعنی یک ساختار توپولوژیک را فیکس می‌کنید و ساختار دیفرانسیلی مشتق گرفتن را اجازه می‌دهید حرکت کند. منیفلد تغییر کند و بشود یک منیفلدی که به عنوان یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر همان نیست، ولی به عنوان منیفلد توپولوژیک همان است. بعضی وقت‌ها هم نمی‌شود این‌کار را پیوسته انجام داد. مجبوریم جامپ کنیم و بپریم. مثلاً روی کره چهار بعدی بود که ۸۲ تا ساختار دیفرانسیلی داشتیم که تشکیل گروه می‌دادند؟ این‌جا که نمی‌شود حرکت کرد بینشان و این یک مفهومی‌از حرکت کردن از یک چیزی به چیزهایی نزدیک آن می‌شود هندسه. و یک جوری این همان مفهوم فضای مدولی است، دیفرمیشن و این نگاه به هندسه. توی گراف‌ها گفتم مثلاً شما یک خانواده از گراف‌ها را در نظر بگیرید، با یک تغییر کوچک موضعی توی گراف، شاید بتوانیم آن گراف را ببریم به یک خانواده گراف نزدیکش، شبیهش، و آن زیر هم یک راسی بگذارید و به راس آن یکی وصل کنید. این هم می‌شود دیفورمیشن گسسته توی مثلاً گراف‌ها، و توی جبر شما یک آبجکت‌هایی دارید که کوشنت می‌گیرید مثلا از ℤ یک عالمه کوشنت می‌گیرید، می‌شود ℤ/pها. می‌توانید بگویید این ℤ/pها  که دارم، یک خانواده پیوسته‌ای هستند که همه شان در آن ℤ خلاصه می‌شوند و آن ℤ یک جوری یونیورسال آبجکت هست برای همین ℤ/pها، یا اگر دوست دارید، برای همین ℤ/nℤ ها. این ایده یونیورسال آبجکت توی جبر را خیلی گروتندیک بسطش داده، که چه مجموعه‌هایی از آبجکت‌ها، یونیورسال آبجکت دارند؟ که criteriaی گروتندیک سخت است ولی شلسینگر criteriaی لوکال Artinian ring‌ها را ساده کرده به نام شلسینگر criteria. criteriaی پریدهام هم هست که شبیه شلسینگر هست، ولی برای-ℤ مدول‌ها کار می‌کند. لازم نیست لوکال آبجکت باشند. مثلا روی ℤ_p باشند یا روی ℚ_p باشند، و دیفرمشان کنید. راجع به دیفورمیشن صحبت کردم، دیفرمیشن در هندسه را مطرح کردم و گفتم که وقتی دیفورمیشن داریم، معمولا یک فضای مدولی هم داریم و یا یک فضای مدولی موضعی از این دیفورمیشن‌ها داریم و یک فضایی که این دیفرمیشن‌ها را پارامتریزه می‌کند و بعد یک اعتراضی من کردم به ترکیبیات که یک جور دیفورمیشن هندسی پیشنهاد کردم که وجود نداشت، مثلا برای گراف‌ها، یا برای آبجکت‌های ترکیبیاتی که به یک معنی به هم نزدیک هستند چطور با یک روش گسسته و ساده باید به هم تبدیل بشوند. مثلاً دو تا کلمه را با یک حذف، یا یک حرفی را اضافه کردن در یک جای خاصی، یا جابجا کردن دو حرف همسایه می‌شود به هم تبدیل کرد و از این‌جور چیزها. ولی یک مفهوم دیفورمیشن دیگر هست که به شمارش برمی‌گردد که من آن را جدا توضیح می‌دهم. آن مفهوم جبریش است که می‌گوید چرا ترکیبیات‌دان‌ها یونیورسال آبجکت ندارند؟ یعنی چه مثلاً اگر داشته باشند؟ مثلاً دایره‌هایی که گروه‌های ℤ/nℤ هستند. یک دایره است و یک گراف n تایی هست، این‌ها همه کوشنت‌های یک یونیورسال آبجکت هستند که ℤ باشد. چنین پدیده‌ای در ترکیبیات وجود ندارد که اصلاً به این چیزها فکر کنند. این‌ها را من دوباره راجع به آن‌ها صحبت خواهم کرد. ولی فعلاً که راجع به دیفورمیشن صحبتم هست را همین‌جا توقف می‌کنم، و منتظر بازخوردم، که ببینم شما از این ایده دیفورمیشن در ترکیبیات اگر رضایت دارید، من باید ۳+۳ تا مثال این‌طوری بزنم. یکی را زدم، که اگر رضایت دارید بروم سر بعدی. اگر هم نه که به من بفرمایید که چه چیز را بیشتر توضیح بدهم.

 

امیرحسین اکبرطباطبایی: توضیحات تکمیلی در باب دگردیسی- درباره‌ی دگردیسی هم می‌خواهم حرف بزنم اما قبلش بگویم که شما فرمت من را عوض کردید، که البته هیچ کار بدی هم نکردید، کار خوبی کردید. من پرسیدم  که شمارش را اول برای من بگویید که چیست و بعد دیگر موارد را، ولی خوب به نظر شما این توضیح دگردیسی را ارجح می‌دانید. پس این سوال من درباره‌ی شمارش و تعمیق شدن مفهوم شمارش را نگه دارید تا یک کمی‌ درباره‌ی دیفورمیشن حرف بزنیم و بعد برویم سراغ بعدی. عرضم به حضورتان که این را می‌گویم برای مخاطبی که ما را می‌شنود یا قرار است بعداً بخواند. این توضیحی که شما می‌دهید فوق العاده است، خیلی عالی و خیلی تمیز است. اعتراضتان به ترکیبیات را می‌گویید و باز مثال می‌زنید و اتفاقا رحم هم نمی‌کنید که همین‌جوری ما خودمان برویم بفهمیم، و برایمان مثال جبری هم می‌زنید که یک کمی‌ ناروشن است. اما من هنوز حسم این است که این را یک کسی که ریاضی بلد است اما نه خیلی اگر بشنود چه می‌شود؟ احتمالا مثال‌های شما مناسب کسی است که خوب یک چیزهای بیسیکی را می‌داند و خیلی هم لذت می‌برد. من می‌خواهم این گپ را پر کنم و فضولی کنم در کار شما و یک کوچک توضیح بدهم برای کسی که برای اولین بار است که دیفورمیشن می‌شنود که این مفاهیم یعنی چه. من تصورم این‌ است که شما اگر همین‌جوری یک لیسانس ریاضی گرفته باشید، بعید است که مثلا دیفورمیشن و فضای مدولی و این‌ها به گوشتان خورده باشد و احتمالا اگر هم خورده است این مفاهیم باید خیلی ترسناک باشند که وای این‌ها چقدر چیزهای سختی است. بنابراین من توضیحاتی در این موارد خواهم داد و شما هم به عقل ناقص من، یک چیزهای خوبی اضافه می‌کنید در ادامه. پس اجازه دهید من هم یک پنی کوچکی را که دارم این‌جا خرج کنم.

این‌طور که شما توضیح می‌دهید، از دیفورمیشین یک معنی وسیعی‌ای در نظر دارید که خیلی هم خوب است و کار من را آسان می‌کند. بیایید تصور کنیم که یکی از من بپرسد که این‌هایی که دکتر رستگار گفت خیلی هم خوب اما دیفورمیشین اصلا یعنی چه؟ من این‌طور می‌گفتم که رهیافتی در ریاضیات موجود است، مستقل از این‌که موضوع بحث هندسی باشد یا نباشد، و آن این که ما یک موجود ریاضی را تغییر می‌دهیم و از روی تغییرش است که شروع می‌کنیم به فهمیدنش. بعد شما می‌پرسید که این تغییر چطور باید باشد و خوب این دیگر انواع و اقسام و تنوعی دارد. مثلا خیلی اوقات ما به تغییرات بی‌نهایت کوچک علاقه داریم که این را رویش تاکید نمی‌کنید. دلیل این علاقه این است که این تغییرات به یک معنی ساده‌اند. در واقع بی‌نهایت کوچک، با این‌ که روشن هم نیست که یعنی چه، می‌شود گفت که مقداری خیلی کوچک است که به توان دو صفر می‌شود و بنابراین تغییر به اندازه‌ی اپسیلون مجبور می‌شود که خطی باشد و این خطی بودن یعنی ساده بودن. و من سر در می‌آورم از این تغییر خطی، و این کمک می‌کند که من بفهمم که مثلا این شی را یک ذره جابه‌جا کنم چه اتفاقی برایش می‌افتد و در اسکیل بزرگتر هم آرام آرام این کمکم بکند که بفهمم در واقع چه اتفاقی می‌افتد. اما توجه کنید که تغییرات بینهایت کوچک فقط یک نوع از تغییر است. در حالت کلی من یک ساختار به شما می‌دهم. این شی می‌تواند یک شی هندسی باشد یا نمی‌دانم یک جبر باشد، یک گروه باشد، یک حلقه باشد، یک ساختار ترکیبیاتی باشد، گراف باشد یا هر چیزی. نکته این است که این شی در خانواده‌ای زندگی می‌کند و شی در این خانواده است که تغییر می‌کند و این تغییر هم باید برحسب یک پارامتری باشد. این پارامتر، می‌تواند یک عدد حقیقی‌ باشد، یک ساختاری باشد مثلا گاهی این پارامتر یک حلقه است. مثلا شی شما می‌تواند یک سری خم باشد که با پارامتر t پارامتری شده است یا مثلا صفرهای یک چندجمله‌ای با ضرایب صحیح در حلقه‌های مختلف باشد که با حلقه‌ی پس‌زمینه پارامتری شده است. بعد برحسب این پارامتر این‌ شی تغییر می‌کند. حالا فضای مدولیِ مساله فضای همه‌ی این اشیاست یعنی نقاط فضای مدولی متناظر است با این اشیا. بنابراین فضای جدید یک جور فضای حالت است. همه‌ی امکانات آن‌جا هست و به طور خاص شی مورد نظر من هم آ‌ن‌جا قرار دارد. بعد اشیا یعنی نقاط آن فضا به هم تبدیل می‌شوند. آن تبدیل شدن، آن هندسه‌ای که آن داخل هست، آن توپولوژی و چسبی که آن داخل هست، آن تغییر که آن داخل هست در فضای مدولی، قرار است که تغییرهای این اشیای من را معنی کند، و بعد من می‌فهمم که چه اتفاقی دارد بین این‌ها می‌افتد و از طریق این تغییرات شی مورد نظرم را می‌شناسم. این معنای تغییر روشن است مفهومش وقتی که ما هندسی فکر می‌کنیم، خیلی از لحاظ شهودی روشن است دیگر که خم داریم، و نمی‌دانم شی هندسی داریم، و حالا یکی هم ممکن است مجردتر باشد، یک ساختمان مثلا، یک ساختار منیفلد دیفرانسیل‌پذیر که شما هم مثال می‌زنید. آن یک کم سخت‌تر می‌شود فهمش به لحاظ شهودی، ولی به هر حال این‌طوری می‌شود فهمید که همیشه یک موجوداتی‌ هستند به هر حال، که برحسب یک پارامتری تغییر می‌کنند. بعد شما از شی صلب هم حرف می‌زنید. شی صلب جانوریست که دیفورم نمی‌شود، یعنی یک مقدار اندکی، کوچولو که می‌خواهید تغییرش بدهید این تغییر نمی‌کند. خیلی سفت می‌ایستد همان‌جایی که هست. مثلا در هندسه‌ی دیفرانسیل یک مثال فوق‌العاده داریم که وقتی که شما روی فلان منیفلد مثلا هفت تا ساختمان مختلف دیفرانسیل دارید خوب حالا چه تغییری را می‌خواهید بدهید بین این ساختارها؟ این‌ها می‌پرند روی هم‌دیگر و تغییر نرمی‌ به آن معنا موجود نیست این‌جا.

حالا یکی ممکن است از شما بپرسد که بیرون از هندسه چه اتفاقی می‌افتد. مثلا گروه را چه طوری می‌خواهید حرکت بدهید. من یک کم تخفیف می‌دهم و به جای گروه‌ جبرها را در نظر می‌گیرم. شما ممکن است برای اولین بار که شنیده باشید دیفورمیشن چیست خوشتان بیاید بگویید چقدر قشنگ گفت و دستش درد نکند. خوب حالا جبر را شما دیفورم کنید اصلا ببینم چطور می‌خواهید جبر را دیفورم کنید. برای این کار فرض کنید آن ساختمان جمعی جبر را من ثابت نگه داشته‌ام و می‌خواهم ضرب جبر را عوض کنم، منتها نرم عوض کنم، به این معنی که من آن یک ضرب را که شما به من دادید می‌خواهم به یک خانواده گسترش بدهم. آن خانواده دارد تغییر می‌کند، به‌ خاطر این من توانایی این‌ را پیدا می‌کنم که جبرم را تکان بدهم، و وقتی جبرم را یک ذره تکان بدهم شروع می‌کنم به فهمیدن این‌ که این جبرم چطور رفتار می‌کند. حالا من باید یاد بگیرم یک جبری را که به من داده‌اید به یک خانواده گسترش بدهم و این تمرینی است که باید مخاطب ما بنشیند و به آن اندکی فکر کند، واقعا مفرح است. فرض کنید a و b  دو عضو در جبر ماست و ما می‌خواهیم ضرب جدیدی برایشان تعریف کنیم که همان ضرب قدیمش باشد به اضافه‌ی یک مقداری بینهایت کوچک. مثلا این مقدار مضربی بی‌نهایت کوچک از مقداری است مثلا f(a,b) که بر حسب a و b  متغیر است. این شکل جنرال خطی تغییر دادن یک ضرب است دیگر. خوب بعد این ضرب که نباید هر ضربی باشد، باید مثلا شرکت پذیر باشد. حالا اگر شرکت پذیری ضرب جدید را بنویسم، این تبدیل می‌شود به شرکت پذیری ضرب قدیمی‌ به اضافه‌ی یک رابطه که روی تابع f باید باشد. این خوشمزه است که یکی بنشیند بنویسد. حالا باید گفت که از بین این ضرب‌ها چه زمانی دو ضرب را یکی می‌گیرم. جواب این است که وقتی که یک تبدیلی باشد، مثلا یک بایجکشن جبری، که یکی را به آن یکی تبدیل کند. بعد می‌شود این ضرب‌ها را نسبت به این همسانی در نظر گرفت. حالا کاری ندارم و یک ارتباطاتی به کوهمولوژی و این‌ها دارد این بحث که ممکن است مخاطب متخصص‌تر شنیده باشد. به هر حال این جور می‌شود این ضرب را تکان داد. حالا اگر من یک جبر به شما بدهم این که این جبر صلب باشد یعنی این ضرب جدید را که بنویسم با آن تابع f و این‌ها هیچ اتفاقی نمی‌افتد. همین‌طوری می‌افتد روی خودش، نمی‌توانم تکانش بدهم خیلی اوقات. اما اگر صلب نباشد، شروع می‌کند به تکان خوردن. شبیه آن چیزهایی که شما دوست دارید و مثال می‌زنید، که مثلا دیویژن رینگ را داریم و این‌ها، شروع می‌کنند آرام تکان خوردن. وقتی یک چیزی آرام تکان می‌خورد یک حسی به ما می‌دهد همان‌طوری که شما گفتید، که درست است این‌ها جبر هستند، ولی هندسه‌ای هم این‎جا در کار است. پس هر جایی که یک چیزی آرام تکان می‌خورد، بوی هندسه می‌آید. این‌ها را من سعی کردم که به زبان ساده‌تری توضیح بدهم. مقدمات کلماتی که به کار می‌برید این طرف و آن‌طرف را دارم سعی می‌کنم که باز کنم. بعد یک چیزی را جواب می‌دهید که سوال خوبی است. می‌گویید که خیلی خب، من حالا یک شی گسسته دارم، همین الان این همه منبر رفتید که تغییر مهم است، حالا اگر مثلا هفت تا امکان داشتید و این‌ها شما چه کار می‌خواهید بکنید با شی گسسته؟ گسسته چطور تغییر می‌کند و این‌ها؟ و آنی که نگفتید این‌ است که یک وقت‌هایی هست که  اشیا دیفورم می‌شوند با یک مقادیری که پارامتر عددی نیست و جواب همین‌جاست. مثلا روی یک ساختاری تکان می‌خورند، مثل همین فایبریشنی که مثال می‌زنید. و آن‌ مواقع می‌شود خیلی حرف‌ها زد. مثلا یک نمونه‌اش این است که یک مجموعه یا گروه، مثلا گاهی روی یک ساختاری تغییر می‌کند، لزوما آن ساختار حتما یک پارامتر مثلا حقیقی یا جبری نیست. این دست ما را باز می‌کند که ما مفهوم تغییر را گسترش بدهیم، مفهوم  دیفورم را گسترش بدهیم، حالا دیفورمِ کم و زیاد باید روشن بشود. یعنی چه یک کم؟ مطلبی است این. خیلی اوقات ما کارهایی که می‌خواهیم بکنیم، یک ذره یک ذره می‌کنیم، کوچولو کوچولو می‌کنیم، این همان دیفورمیشن کوچولوست. خوب این در ترکیبیات کجاست؟ این چیز‌ها را مطالعه نمی‌کنند و باید بکنند. یعنی از نان شب واجب‌تر است این‌ها. مثلا من یک ساختمان ترکیبیاتی به شما می‌دهم. یک استرینگ اصلا. مثالتان خیلی خوب است. یک استرینگ در نظر بگیرید و من اضافه می‌کنم که این استرینگ خیلی بلند است مثلا ۵۰۰۰ حرف  در آن هست از a و b. دو تا از این‌ استرینگ‌ها را در نظر بگیرید. من یکی را دیفورم شده‌ی دیگری می‌گویم وقتی که کوچک تغییر کند، یعنی کوچک بودن این‌جا، مثلا می‌گیرم دو حرف در آن تغییر کند یا یک حرف تغییر کند. همان یک حرفش عوض می‌شود خب، بعد با این یک حرف یک حرف عوض کردن من به هر چیزی می‌توانم برسم و این‌ها. خوب همه‌ی این استرینگ‌هایی که با تغییراتی که به دست می‌آید، این‌جا می‌شود همه‌ی استرینگ‌ها. یک فضای مدولی دارم و دیفورمیشن کوچک هم داریم. آیا ترکیبیات‌دان مطالعه می‌کند همچنین چیزی را؟ آیا این فضای استرینگ‌ها را با این دیفورمیشن کوچکش به عنوان یک خانواده مطالعه می‌کند؟ تجربه‌ی کج و معوج و بی مزه‌ی من در ترکیبیات می‌گوید که می‌کنند، ولی به هیچ دردی نمی‌خورد. آن کاری که باید بکنند را نمی‌کنند. برمی‌گردیم به آن‌هایی که آن‌جا گفتید. من فقط شرح و تفصیل دادم مثال‌هایتان را و کلمه‌های کلیدی‌ای را که بارها قرار است در ادامه استفاده کنید، در شکل جنرال، بدون جزییات فنی، یعنی به عنوان یک امر شهودی توضیح دادم. مثل فضای مدولی و دیفورمیشن. من تصورم این‌ است که مردم که یک جبری پاس کرده‌اند و می‌شود انتظار داشت گروه بدانند، حلقه بدانند، مدول بدانند، حالا دیگر یک کم منیفلد و این‌ها شنیده باشند، نمیدانم از این چیزها، ولی شاید دیفورمیشن نشنیده باشند و امیدوارم این چیزی به مخاطب یاد بدهد که اصلا شما خودت اگر دانشجویی از فردا یاد بگیری به اشیا به عنوان عضوی از یک خانواده نگاه کنی. فکر کنی که چه طور می‌شود این شی را دیفورم کرد در این خانواده. این فضولی را بکنی وقتی به جاهای مختلف می‌روی. و یا اصلا حتی بروی مثلا سرچ کنی در مورد دیفورمیشن تئوری. در مورد جبر اگر کارت جبر است دیفورمیشن در جبر را یاد بگیری و از این دست کارها.

من یک مطلب دیگر را هم اضافه کنم و آن هم درباره‌ی فایبریشن. یک جایی هم قبلاها گفته بودم که فایبریشن مهم است. من این فایبریشن را هم بنشانم در همین بحث دیفورمیشن. شما هم همین‌جوری می‌گویید. فرض کنید که ما دو تا فضا داریم. فضا به معنای وسیع کلمه. دو تا موجود داریم، دو تا هرچی. که یکی این پایین است، یکی آن بالاست و یک نگاشت از بالایی به پایینی موجود است. پایینی را فرض کنید که یک سری نقطه دارد و بین نقاط هم مسیرهایی است که به هم وصل می‌کند این‌ها را و بر اساس همین مسیرهاست که این پایین یک معنایی از تغییر وجود دارد. مثلا فضای پایینی می‌تواند اعداد حقیقی باشد با مسیرهای پیوسته که نقاط را به هم وصل می‌کنند. آیا این شی پایینی می‌تواند گسسته باشد؟ بله. کافی است یک سری رأس داشته باشیم با یک سری خط جهت‌دار که رئوس را به هم وصل می‌کنند. یعنی آن شی آن زیر یک گراف جهت‌دار باشد. یا مثلا آن شی پایینی می‌تواند یک کتگوری باشد. بستگی دارد دیگر. بعد نقش شی بالایی چیست؟ گفتیم که یک نگاشت داریم از بالایی به پایینی. بنابراین بالای هر نقطه‌ای از این پایینی یک فایبر هست که در واقع تصویر وارون نگاشت مربوطه است. بنابراین وقتی نقاط این پایین تغییر می‌کنند فیبر بالای آن هم تغییر می‌کند. حالا ما می‌خواهیم این تغییر فیبر نرم هم باشد. این یعنی چه؟ بسته به کانتکست‌های مختلف این نرم بودن معانی مختلفی می‌دهد. در توپولوژی می‌توان توابع پیوسته از فضای بالایی به پایینی را در نظر گرفت یا یک فضای پوششی یا یک همسان‌ریختی موضعی را. در کتگوری تئوری هم از فایبریشن می‌توانیم حرف بزنیم که ایده‌اش این است که تغییر فایبر بر حسب نقاط پایینی باید فانکتوریال باشد و بسیار مثال دیگر. حالا این چه مربوط است به دیفورمیشن؟ روشن است دیگر. ربطش این است که این هم یک روش فرمال کردن تغییر است. در واقع دو جور نگرش به تغییر وجود دارد که  به هم مربوطند. یعنی یک جور می‌شود هر دیفورمیشنی را به عنوان یک فایبریشن دید و برعکس. این‌طور که، اگر من شی متغیری بر حسب یک پارامتری دارم، حالا عدد است، نمی‌دانم همین گراف است، هرچه که هست، می‌توانم آن را به منزله‌ی یک فایبریشن ببینم. چطور؟ راهش این است که من همه‌ی ساختارها را برای همه‌ی پارامترها کنار هم جمع کنم و که بشود شی بالایی و شی پایینی باشد دنیای پارامترها و نگاشت هم هر نقطه‌ی بالایی را بیاورد رو پارامتری که رویش واقع شده. انگار که همه‌ی تغییر را به شکل استاتیک ببینم. مثلا به یک تابع روی اعداد حقیقی نگاه کنید. شما می‌توانید به این تابع دو جور نگاه کنید. یکی به‌ عنوان عددی حقیقی که دارد بر حسب یک عدد حقیقی دیگری که پارامتر مربوطه باشد تغییر می‌کند. یک جور دیگر هم می‌توانید نگاه کنید. به‌عنوان یک سری نقطه در صفحه که نمودار تابع است. دارد می‌گوید بالای هر نقطه‌ی ℝ فلان نقطه نشسته است. این نمودار می‌شود فایبریشن متناظر تابع. اساسا این دو تا رهیافت با هم معادل هستند. به جای این‌که بگویید دیفورمیشن کجاست، می‌گویید فایبریشن کجاست؟ این هم کلمه‌ی فایبریشن، که اگر بعدا استفاده کردیم، مخاطب یک ایده‌ای داشته باشد که یعنی چه. حالا شما می‌توانید بپرسید که چرا در ترکیبیات فایبریشن نداریم؟ چرا مثلا یک گراف بالای گراف دیگر به‌عنوان فایبرش بررسی نمی‌شود؟ حالا بعدتر درباره‌ی مورف‌ها و چیزهای دیگر می‌خواهید حرف بزنید. که ربط وثیقی هم دارد به این حرف‌ها، مخصوصا در مورد یونیورسال آبجکت‌ها هم می‌خواهید حتما حرف بزنید. که چه بهتر، ولی قبل از آن قول دادید که درباره‌ی شمارش حرف بزنید، که خیلی حرف شنیدنی‌ای باید باشد، و من مخاطب فرضی‌مان را تشویق می‌کنم، از جمله خودم را، و بشارت می‌دهم که الان یک چیز هیجان‌انگیزی خواهد شنید. معذرت خواهی هم می‌کنم که من این حرف هایی که شما هزار سال است بلدید را دارم برای خودتان تکرار می‌کنم. فقط برای این‌ که اگر بعدا یک کسی خواست این‌ها را پیاده کند، این‌ها هم آن‌جا باشند، که  مخاطب مربوطه وحشت نکند که این‌ها دیگر دارند خیلی چیزهای سختی می‌گویند. اصلا کار من نیست، من می‌روم خانه!

 

آرش رستگار: برنامه‌ی لنگلندز به پیمانه p- دولین و دولین-سر دوتا مقاله بودند که به مدولار فرم‌های وزن دو نمایش گالوایی نسبت دادند و این مدولار فرم‌هایی که eigenform اپراتورهای هکه بودند، تصویر فروبنیوس المنت‌های گروه گالوا، آن مقادیر ویژه را می‌داد و کاملا با توجه به ویژگی multiplicative expansion تصویر فروبنیوس مدولار فرم را مشخص می‌کرد. از طرف دیگر تیت به خم‌های بیضوی نمایش گالوا نسبت داده بود و سر این‌ها را مطالعه کرده بود و یک پدیده عجیبی بود که برای هر p یک نمایش گالوایی داشتیم که در GL2(Qp)  فرود می‌آمد. همه این‌ها به یک شی خم بیضوی روی (ℚ نسبت داده می‌شدند ولی هیچ نمایش گالوایی روی  GL2(Q) وجود نداشت که با توسیع پایه از ℚ به Qp همه آن نمایش گالواها را بدهد. خم بیضوی را که به پیمانه p می‌بردید، نمایش گالوا می‌رفت به پیمانه p و مدولار فرم هم، همنهشتی بین مدولار فرم‌ها، نمایش گالواهایی که به پیمانه p یکی بودند را به دست می‌داد. این‌که به پیمانه p یکی باشند، یعنی نمایش‌های روی GL2(Qp) را مزدوجش کنید، در یک ضریبی ضرب کنید، که برود به GL2(Zp) و بعد ببریدش به پیمانه p، برای اعداد اول p مناسب. برای هر p یک نمایش گالوایی داریم. پس نمایش گالوا به پیمانه p شد همان همنهشتی بین فرم‌های مدولار. بنابراین همنهشتی یک موجود نظریه اعدادی، به این نمایش گالوا به پیمانه p ربط پیدا کرد، و سر حدس زد که، هر نمایش گالوا به پیمانه p از کل گروه گالوا روی  Qp  را می‌شود برد به GL2(Fp)   چون به پیمانه p هست، که تحویل ناپذیر باشد، و فرد باشد، فرد یعنی این‌که تصویر کامپلکس کانجوگیشن در گروه گالوا ۱- باشد، چنین چیزی حتماً از یک مدولار فرمی‌می‌آید. حتی دقیق‌تر، حدس زد که این مدولار فرم از چه وزنی و از چه سطحی هست، که به اولی می‌گویند حدس ضعیف سر و به دومی‌ می‌گویند حدس قوی سر و مردم خیلی زود نشان دادند که اگر از یک مدولار فرمی‌ بیاید، می‌توان با همنهشتی‌ها کاری کرد که از همان وزن و سطحی که باید هم مدولار فرم وجود داشته باشد. اصلش این بود که یک مدولار فرم وجود دارد. این حدس سر بود، ولی خب لنگلندز می‌گفت هر موتیوی مدولار است. هر نمایش گالوایی که از یک موتیو بیاید، مدولار است و میزور و فانتن هم از روی نظریه هاج p-adic حدس‌هایی زدند که دقیقاً چه نمایش گالوایی از موتیو‌ها می‌آید، و برنامه لنگلندز هم که اصلا راجع به نمایش‌های گالوایی بود، که می‌گفت چه نمایش‌های گالوایی از نمایش‌های اتومورفیک‌ می‌آیند؟ که اصلا در حالت میدان تابعی هم ثابت شد. سر گفت که بگویید نمایش گالوا به پیمانه p از چه اتومورفیک فرم‌هایی می‌آیند؟ و به زبان کلی اتومورفیک فرم‌ها ترجمه‌اش کنید. وقتی ترجمه کردید، این‌ها اگر مدولار شدند، و از یک مدولار فرمی‌ آمدند، باید همنهشتی آن مدولار فرم‌ها را بررسی کنیم. مانند اعداد که به پیمانه p در نظر می‌گیرید، می‌شود Fp ، و می‌گویید ترکیبیات است، کلاس‌های همنهشتی فرم‌های مدولار موجوداتی متناهی هستند، ترکیبیاتی هستند. موجوداتی روی Fp  هستند. بنابراین نمایش گالو به GL2(Fp) به مدولار فرم‌های به پیمانه p ربط پیدا می‌کنند. نظریه اعداد است، ولی ترکیبیات است دیگر، نظریه اعداد متناهی. خود گروه گالوا هم بخواهید بگویید که ترکیبیات نیست، یک حدی از گروه‌های فرامتناهی است دیگر. حتی اگر بخواهید برایش معادله هم بنویسید، می‌شود نمایش گروه‌ها و نمایش گروه‌های متناهی و آنها هم مسأله ترکیبیاتی هستند. بنابراین نمی‌شود گفت که این مسأله ترکیبیاتی نیست. در آخرین مقاله‌ای که حدس سر را برای totally real field، یک عده‌ای در سال ۲۰۰۹ فرمول‌بندی کردند، بعد از این‌که حدس سر برای ℚ اثبات شد، این‌ها آمدند به زبان برنامه لنگلندز هم ترجمه کردند. البته نه گروه ریداکتیو دل‌خواه، ولی در این جهت تلاش‌هایی شده است. این یک کار خوب بوده که من تجلیلش می‌کنم، و به نظرم می‌شود آن را در بستر ترکیبیات قرار داد. قسمتی از نظریه اعداد است، ولی به نظر من تفکر ترکیبیاتی می‌تواند نقشی داشته باشد.

آرش رستگار: تریس لاپلاسین روی گراف- درخت‌هایی که متریک دارند و رویشان تریس لاپلاسین را مطالعه می‌کنند، و اصلا آن نظریه گراف که آنالیز تویش دارد به طور کلی. مثلا مثل رامانوجان گراف که L-تابع وابسته به آن گراف‌ها از فرضیه ریمان پیروی می‌کند، و مثلا فیلیپس و سرنک یک خانواده نامتناهی از رامانوجان گراف‌ها مثال زدند، این به نظرم نظریه، گراف تئوری محترمی‌ است. چرا که مثلا درخت‌ها می‌توانند مدل خوبی از یک فضای هذلولوی باشند. هذلولوی به معنای گروموف. مطالعه فضاهای هذلولوی یک چنین مدلی می‌شود برایش داد، چون این‌ها شبیه فضای هذلولوی هستند. یا مثلا گراف شما متناهی است که L-تابع‌شان خواص خوبی را دارد، پوشش جهانی که در نظر بگیریم، یک درخت می‌شود که L-تابع‍ش خصوصیات خوبی دارد که شما دوست دارید، مثل فرضیه ریمان و ... دارد. به سیستم‌های دینامیکی مربوط می‌شود. مثلا این که تابع زتا که هندسی تعریف می‌شود مشابه تابع‌های زتای نظریه اعداد است، برایش خیلی چیزها ثابت می‌کنند، با تابع زتای گراف‌ها برایش ثابت می‌کنند. و از ایرانی‌ها دکتر شهریار مختاری‌ شرقی را می‌شناسم که با هایمن بس کار کرد، ولی خب ریاضیات را رها کرد. از ایرانی‌های داخل ایران کسی که خیلی جدی آنالیز روی گراف انجام بدهد، یعنی بفهمد چه سوالاتی مهم هستند، و چرا مهم هستند، و به سوال‌های مهم فکر کنند، به نظرم کسانی هستند که آنالیز روی گراف انجام می‌دهند، ولی کارهایشان را نگاه نکرده‌ام ببینم که چقدر پختگی فلسفی دارد، ولی خب عموما توی ایران آدم‌ها به قسمت‌های مختلف ریاضیات سرک نمی‌کشند که آن‌طوری این پختگی را به دست بیارند. اصولا کارشان این نیست. و یا به کاربرد اقبال دارند که پس دغدغه‌های محض ندارند.

آرش رستگار: مورفیسم بین اشیای ترکیبیاتی- مثلا شما یک طرح بلوکی را در نظر بگیرید. مثلا در آن عدد باشد. مثلا یک سودوکو. حالا شما به جای یک تا ۹ یک‌ سری طرح بلوکی دیگر بگذارید که این طرح بلوکی‌هایی که جای یک تا ۹ می‌گذارید، هر کدام اعداد متفاوتی باشند و با هم اشتراک نداشته باشند، یا نمادهای متفاوتی باشند. بازهم می‌شود یک طرح بلوکی. این یک چیزی شبیه جمع مستقیم است مثلا، و مفهوم مورفیسم و کوشنت تویش دارد. حالا شما همچنین چیزی را از این بلاک دیزاین‌هایی که، مثلا به جای اعداد یک تا ۹ سودوکو بذارید. سودوکوی اولیه را از ۱۰ تا ۱۸ بگذارید و دومی‌ را از ۱۹ تا ۲۷ بگذارید و الی آخر. بعد آن‌وقت یک سودوکوی جدید می‌دهد که ۸۱ در ۸۱ است. یک دانه از این مربع های ۱۰ تا ۱۸ را عوض کنید و یک چیز دیگر بگذارید. یک سودوکوی دیگر ۱۰ تا ۱۸ بگذارید. باز هم می‌شود یک سودوکوی بزرگ ولی مورفیسم این‌ها، کوشنت‌اش معلوم نیست که چه می‌شود. آها، این در واقع مورفیسم نیست، یک اپراد است که n تا سودوکو می‌گیرد و در جایشان می‌گذارد، ولی این در تصویر آن اپراد قرار نمی‌گیرد. اگر یک دانه از سودوکوها را مثلا ۱۰ تا ۱۸ را با دست عوض کنیم. بنابراین می‌بینیم مفهوم مورفیسم بالاخره تعریف می‌شود و این یک ذره هم بیش‌تر از آن است. شما می‌توانید آن سودوکوهای ۱۰ تا ۱۸ را، ۱۹ تا ۲۷ و این ها را یک سودوکوی خاص بگذارید طوری که آن‌وقت کوشنت بشود تعریف کرد، دایرک سام و این ها بشود تعریف کرد. وقتی مورفیسم داشته باشیم حد داریم، پروآبجکت داریم. شما می‌توانید ببینید اصلا چه خصوصیاتی به آن پروآبجکت می‌توانند هل داده بشوند؟ چه خصوصیاتی نسبت به مورفیسم خوش رفتارند و غیره.

آرش رستگار: درباره‌ی شمارش- عرض شود که مفهوم شمارش به مفهوم اندازه گیری تبدیل شد. بعدا اعداد گویا هم در اندازه گیری مهم شدند و در فیزیک می‌گویند ما، اعداد گویا اگر به درد ما می‌خورند، حاصل اندازه‌گیری اعداد گویاست. پس به ℝ چکار دارید؟ اگر ℝ داریم، پس Qpها هم باید باشند. پس هر کار با ℝ می‌کنید باید با Qp  هم بتوانیم بکنیم. برای همین میان توابعی روی فضاهای p-نقش در نظر می‌گیرند و شخصی هست به اسم دولگاچف مثلا می‌آید و فیزیک می‌سازد این‌جا و اندازه p-نقش می‌گیرد. ولی این‌ها فضاهای توابعی با مقادیر در ℂ را در نظر می‌گیرند، و زمان را هم نمی‌توانند p-نقش کنند. کسی نتوانسته زمان را p-نقش کند. من یک شاگرد قدیمی‌ دارم که الان استادم شده و داریم راجع به این با هم کار می‌کنیم. شما اگر به زمان و فلسفه زمان علاقه‌مندید من یک کتاب و تعدادی مقاله در این‌باره دارم، ولی انتظار زیادی را نباید از مقالات من داشته باشید. در استانداردهای شما مقالات من یک چیزی در حد همان وبلاگ‌نویسی است. عرض شود، بعدا شمارش تبدیل شد به این‌ که به ساختارهای ریاضی ناوردای عددی نسبت بدهند و با این کار یک هایرارکی درست می‌کردند، و بعد گفتند اصلا خودمان هایرارکی درست می‌کنیم. از یک منیفلد یک نگاشتی تعریف کنیم به ℝ که باید چیزهایی که کوچکتر مساوی با یک عدد هستند، فشرده باشد. بعد کم کم شمارش تبدیل به معنای احصاء شد. یعنی این‌ که شما کاملا بگویید، آن شیء را توصیف کنید و بسازید آن را. احصاء، حالا با متناهی عدد بسازید آن را، آن یک چیز است، با متناهی داده بسازیدش، آن یک چیز است، که بعدش مفهوم جبری بودن دوروف پدیدار شد، و جبرهای متناهی تولید شده و متناهی نمایش داده شده. این ها همه از مفهوم شمارش می‌آیند. عرض شود که، بعد گفتند یک ناوردایی را نسبت بدهیم که احصاء کند و کاملا آن شیء را مشخص کند. با عدد که نمی‌شود این کار را کرد، و گروتندیک گفت ما در حالت‌های رویه‌های هذلولوی می‌توانیم با فاندامنتال گروپ ساختار حسابی و هندسی را احصاء کنیم. کسی نمی‌داند تعمیم هذلولوی به ابعاد بالاتر چه می‌شود. ولی من فکر می‌کنم بدانم. راجع به متمم خم‌های جبری از درجه بزرگتر مساوی سه که در فضای افکنشی دو بعدی می‌نشینند و این‌که گروه بنیادی حسابی، وقتی چنین چیزی در میدان متناهی تولید شده در نظر بگیریم، این متمم را به طور یگانه تعیین می‌کند، من حدس‌هایی دارم. راجع به این‌که هذلولوی‌های بُعدهای بالاتر چه باید باشند، با توجه به گروه هذلولوی در تئوری گروموف و تعمیمش به گروه های فرامتناهی من حدس‌هایی دارم. و این‌که ایده هذلولوی و پوشش جهانی و فضای پوششی جهانی کار نمی‌کنند را من مشکلش را حل کردم. که مثلا برای فضای مدولی زیگل کار نمی‌کند، و خارج قسمت‌هایش با گروه بنیادی‌هایش مشخص نمی‌شود. عرض شود که، حالا حرف من این بود راجع به وایلز ،که گروتندیک می‌آید یک خانواده ای از اشیاء را در یک شیء جهانی، یونیورسال آبجکت خلاصه می‌کند، و این هم یک جور احصاء کردن است. ایده میزور این بود که دوتا چیزی که می‌خواهیم متناظر کنیم، دو طرف شیء جهانی، یونیورسال آبجکت به وجود بیاوریم و ببینیم که اشیاء یکریخت هستند، آبجکت ها ایزومورف هستند. و این‌طور بین آن ها تناطر یک‌به‌یک برقرار کنیم. سهم وایلز این بود که چون روش R=T که R دگردیسی جهانی، یک نوع جبر جهانی هست، که در آن روش R=T وایلز این کار را انجام داد. یعنی پیشنهاد میزور را انجام داد. و دیگر این‌که اسم آن را گذاشت: شمردن.

امیرحسین اکبرطباطبایی: درباره‌ی این مجموعه- به‌به چقدر متن دست پری است. عرضم به حضورتان که من این فرمان را از این به بعد اجرا می‌کنم، اگر یادم بماند و عقلم کار کند البته. ظاهرا ما کاری که داریم می‌کنیم این است که سرک می‌کشیم به هر گوشه‌ی ریاضیات. فعلا راس‌هایش و بعد یال‌هایش. حوالی آن‌ها حرف می‌زنیم در آن موارد. و یک چیزهایی را باز می‌کنیم که این به عنوان یک پکیج کلی که یک ساختمانی هم بعدا باید به آن داده بشود که این‌جا و آن‌جا خواندنش برای کسی که یک لیسانس ریاضی یا گاهی فوق لیسانس ریاضی دارد خیلی مفید خواهد بود. من کاری که سعی دارم بکنم در این مصاحبه با شما این است که این چیزهایی که می‌گویید را باز بکنم. این‌ها بعضی وقت‌ها زیادی تخصصی است و خیلی براد ویو است و خیلی پیش نیاز و این‌ها می‌خواهد و بعد detailed و این‌ها هم نیست به اندازه‌ی کافی. من می‌توانم خودم را بگذارم جای دانشجوی مربوطه که این بی‌نوا این وسط گیج می‌شود. آن‌طور که باید استفاده نمی‌کند. و فکر می‌کنم من همین‌طوری نقش شارح را باید حفظ کنم. می‌خواهم بیایم در مورد این‌ نکات جدیدتان هم حرف بزنم. در نقش شارح من به این حرف‌هایی که شما می‌زنید کانتکست اضافه می‌کنم. آن‌قدر که عقل خودم می‌رسد. حالا شما هرچقدر که به نظرتان کم گفتم و اشتباه گفتم حتما اصلاح می‌کنید. ولی فکر می‌کنم باید به این‌ها کانتکست اضافه کنیم. گاهی تعریف اضافه کنیم. حرف ریاضی بزنیم مثلا. بگوییم تعریف این را در نظر بگیرید یا تعریفی را بگوییم داریم غلط می‌گوییم اصلا به خاطر این‌ که سخت است. ولی این نسخه‌ی جیبی این است که شما در نظر می‌توانید بگیرید. هدف این کارهایی که دارم می‌کنم این‌جا این است. یک هوا ریاضی روی زمین تر. می‌خواهم حال اکسپوزیتوری آن حفظ بشود که وقتی که این را می‌خوانید یک ایده‌هایی داشته باشید که کجا باید دنبال چه چیزی بگردید. در واقع داریم یک اطلس درست می‌کنیم که خلاصه‌ هم باشد. یعنی حالا یواشکی فرض می‌کنیم که گروه بلدید، رینگ بلدید، فیلد بلدید، بگم گالوا خوف نمی‌کنید، فضای توپولوژیک بلدید. این چیزها را بلدید. یک چیزهایی هم فرض می‌کنم که بلد نیستید. مثلا تصور می‌کنم که حالا دیفورمیشن آن‌چنان هم دانسته نیست ایده‌اش. یا تصور می‌کنم مثلا فرم مدولار آن‌چنان چیز دانسته‌ای نیست حالا. یک چیزی شنیده‌اند. یک کمی‌ هم وحشت‌آور است این جور چیزها. تابع زتای روی گراف‌ها مثلا. این‌ها خیلی چیزهای خوبی است، خیلی بین رشته‌ای است و گوشت خیلی جدی دارد. خیلی هم دور نیست که بشود آن را تبدیل کرد به زبان کسی که خیلی وارد نیست. بعضی‌هایش اما زیادی سخت است. این نسخه‌ای که این بالا پیچیدید برای لنگلندز پیمانه‌ی p. این را من اصلا نمی‌توانم و به عهده نخواهم گرفت که این را ترجمه کنم به زبانی که اندکی از آن را یک آدم عابری بفهمد در ریاضی. من فکر می‌کنم که این یک پروژه‌ی خیلی شاخصی می‌شود. من اگر دانشجو بودم و همچنین چیزی دم دست من بود، خدا را بنده نمی‌شدم. دارم فرض می‌کنم که حالا همین فرمانی را که داریم می‌رویم، با همین فرمت و جدیت و این‌ها، حفظ کنیم. در مورد یک عالم چیز حرف می‌زنیم، همه چیز را هم پوشش نمی‌دهیم.  در مورد یک عالم چیز حرف می‌زنیم که خرده‌حرف‌هایی پیشرفته است. به بهانه‌ی آن‌ها یک عالم مفاهیم را هم تعریف می‌کنیم. من این وسط دارم می‌آیم وسط حرف شما، و مثلا این‌ها را تعریف می‌کنم. می‌گویم این است و این نیست. این طور مخاطب هم این‌ها را به زبانی مقدماتی شنیده‌ است و هم گوشت مطلب را دیده‌. این‌ها به شکل غیرمستقیم آدم تربیت می‌کند. همان طوری که فکر می‌کنم که شما خیلی دوست داشتید همیشه، از اولین روزی که برگشتید به تهران، که دانشجوها کاش همه این‌جوری بشوند. حالا این پیشنهاد من که این مجموعه را تبدیل کنید به یک کتابی پر از تعریف ریاضی، و اما همه اکسپوزیتوری. گاهی هم نه نمی‌ترسید. مثلا یک بخش کوچکی را باز می‌کنید، که آقا من اصلا می‌خواهم جدی ریاضی بگویم. بلدی بخوان. اگر نه نترس و برو به بخش بعدی. اشکالی ندارد. یعنی من همه‌ی زورم را دارم می‌زنم که این‌هایی که شما می‌گویید و پیشرفته است، ریاضی هم هست، دسترس‌پذیر هم باشد برای مخاطب. شما پنجاه سال است که دارید با دانشجو سر و کله می‌زنید. و بهتر از من می‌دانید که دانشجوی معمولی، می‌گوید من ضعیف هستم و این‌ حرف‌ها را برنمی‌دارد. این از بحث خیلی طولانی بی دلیل من.

امیرحسین اکبرطباطبایی: بازخورد به آنالیز روی گراف- خب من می روم سراغ این نکاتی که شما گفتید و باز کردید و درباره‌اش حرف می‌زنم. درباره‌ی برنامه‌ی لنگلندز که قبل‌تر هم گفتم که من این را به عهده نمی گیرم چون کار سختی است. ولی قول می‌دهم بعدتر که رسیدیم به نظریه‌ی اعداد، آن جا من بیایم بپرسم و یک بحث عریض و طویلی درباره‌ی فرم مدولار و اهمیتش بکنیم حتما. ولی فعلا به عهده نمی‌گیرم این را. چنین کاری شدنی نیست به نظرم. ولی می‌رویم سراغ آنالیز روی گراف که بسیار انتخاب خجسته‌ای است حقیقتا. من خیلی خوشحالم که درباره‌ی آنالیز روی گراف، شما یک توضیحاتی می‌دهید که خیلی قشنگ است و فکر می‌کنم یک عالم چیز مهم اینجا هست. متن کوچکی است این ظاهرا. مثلا چهار دقیقه حرف زدید شما و این چهار دقیقه را مثلا می‌شود به اندازه‌ی دو ساعت باز کرد و درباره‌اش حرف زد. حالا من یک ذره‌اش را به عهده می‌گیرم به عنوان شارح و یک کم این مفاهیم بیسیکی که اینجا استفاده می‌کنید را باز می‌کنم. فکر می‌کنم کسی که فوق لیسانس ریاضی هم گرفته باشد لزوما این طرف بارش نخورده و چه بد. حتی اگر ترکیبیات هم خوانده باشد ممکن است این‌ها را نشنیده باشد که بدتر. راجع به آنالیز روی گراف حرف می‌زنید. درباره‌ی گراف‌های رامانوجان حرف می‌زنید که خانواده‌اش را فلیپس و سارنک و این ها درست کردند. در مورد خیلی چیز‌ها حرف می‌زنید. درباره‌ی تابع زتای ریمان حرف می‌زنید روی یک گراف. درباره‌ی لاپلاس و این‌ها حرف می‌زنید. درباره‌ی طیف گراف و اسپکتورال گراف تئوری حرف می‌زنید. درباره‌ی این که طیف گراف چرا باید به درد بخورد و چرا جالب است و این‌ها حرف می‌زنید. ولی خیلی به نظرم این غیر قابل نفوذ است برای عابر پیاده در ریاضی. بنابراین من می‌خواهم که مبسوط این‌ها را شرح و بسط بدهم. این بحث عریض و طویلی است و من هم زیاد بلد نیستم که بخواهم منبر بروم. اگر شما دوست داشتید هر جایش را بیایید پر کنید. ولی آن قدری که عقل ناقص من می رسد یک کم شرح می دهم.

اول می خواهم درباره‌ی لاپلاس حرف بزنم. اولین بار اگر کسی بشنود لاپلاس روی گراف و این ها را، ممکن است بپرسد چرا قیمه را می‌ریزی توی ماست. این چه ترکیب غریبیست و چه نامربوط به نظر می‌آید. بعید هم نیست این لاپلاس را اصلا یادش نباشد و این که لاپلاس اصلا چه بود و اگر هم یادش باشد چون تعریف عجیب و غریبی دارد خیلی هم معلوم نیست لاپلاس را درست فهمیده باشد راستش. بنابراین من درباره‌ی خود لاپلاسین یک کم حرف بزنم و بعد نسخه‌ی گسسته‌اش و درباره‌ی این که ربطش به گراف و این‌ها چیست. اول یادآوری کنم که لاپلاس چیست. تعریف لاپلاس را شما می‌دانید. فرض کنید که یک تابع f داریم از فضای حقیقی n متغیره مثلا صفحه، به اعداد حقیقی که به هر نقطه مقداری عددی نسبت می‌دهد. مثلا به هر نقطه‌ای از صفحه دمای آن نقطه را نسبت می‌دهد. بعد لاپلاس این f می‌شود مجموع همه‌ی مشتق دوم های f نسبت به xi ها. این تعریفش است. ولی خب آدمی‌زاد این‌ طوری است که این چیست و چه جوری مثل آدم بفهمیم این را. شهود پشت تعریف این است که لاپلاس f که خودش یک تابع اسکالری است به یک نقطه‌ی صفحه مجموع تغییری که تابع در حوالی آن نقطه می‌کند را نسبت می‌دهد. یعنی می‌گوید که تابع f که روی یک گوی کوچک اطراف p در جهت‌های مختلف، می‌تواند تغییر کند، چه قدر تغییر می‌کند نسبت به اینی که در آن نقطه هست. عرض کنم به خدمت شما حالا اگر می‌خواهید ببینید که من دروغ نمی‌گویم و این تعریف واقعا این کاری را که می‌گویم می‌کند، یک خط یک بعدی را در نظر بگیرید. فرض کنید h خیلی کوچکی دارید و به اندازه‌ی این مقدار، مثلا در دو جهت نقطه‌ی x جابجا شده‌اید. مجموع تغییر تابع f می‌شودf(x+h)+f(x-h)-2f(x) . حالا بسط تیلور را برای هر دو جمله‌ی اول این مجموع بنویسید. می‌بینید که جمله‌ی مربوط به مشتق اول حذف می‌شود و اولین جمله‌ی ناصفر می‌شود f''(x)h^2. پس در حد ضریب h^2 مشتق دوم می‌شود مقدار تغییر تابع f در حوالی نقطه‌ی x. این مشتق دوم در یک بعد همان لاپلاس است. حالا همین را برای دو بعد بنویسید و به مقدار h در چهار جهت حرکت کنید. مقدار تغییر می‌شود f(x+h,y)+f(x-h,y)+f(x,y+h)+f(x,y-h)-4f(x). مجددا بسط تیلور را برای هر چهار جمله‌ی اول بنویسید. دوباره مشتقات اول حذف می‌شوند. این بار اما مشتقات مرتبه‌ی دوم مرکب از x وy هم حذف می‌شوند چون در هر جمله تغییر در یک راستا صفر است. پس می‌ماند لاپلاسین ضرب در مقداری بر حسب h^2. این شد توضیح لاپلاس به عنوان مجموع تغییر تابع در حوالی یک نقطه. حالا چرا لاپلاس به درد می‌خورد؟ لاپلاس به‌ درد می‌خورد به این خاطر که خیلی وقت‌ها کمیت اسکالری داریم روی مثلا صفحه که می‌خواهیم پایدار باشد. یعنی مجموع تغییرش صفر باشد حوالی نقاط. خب این یعنی لاپلاس باید صفر باشد. این توابع پایدار خودشان اسم دارند. به این‌ها می‌گویند توابع هارمونیک که خودشان به توابع مشتق‌پذیر مختلط یعنی همان توابع تحلیلی ارتباط دارند. این را من می‌خواهم متصل کنم به آن چیزی که قبلا شما گفتید، که دکتر شهشهانی به ما یاد داده که می‌شود یک لتیس را در نظر گرفت و پرسید خب تابع تحلیلی روی این لتیس چه می‌شود؟ جواب این است که می‌شود تابعی که مقدارش در یک نقطه با میانگینش در اطراف آن نقطه مساوی است. خب این همان هارمونیک بودن است. برگردیم به داستان لاپلاس. خب عجیب نیست که این لاپلاس سر و کله اش در معادلات دیفرانسیل هم پیدا بشود. شما معادله‌ی گرما یا معادله‌ی شرودینگر را در نظر بگیرید. بارها سر و کله‌ی این لاپلاس به عنوان تابع پتانسیل پیدا می‌شود و بعد خب دوست داری به یک تعادلی رسیده باشی و مثلا لاپلاسین صفر باشد یا اگر هم در حالت تعادل نیستی می‌خواهی تغییراتت شکل مشخصی داشته باشند و مثلا مضربی از خود تابع باشند. این یک سری از معادلات دیفرانسیل به ما می‌دهد که در مطالعه‌ی پدیده‌های فیزیکی موج و ... ظاهر می‌شود و مجبور می‌شوی بنویسی و حل کنی و آن تابع را پیدا کنی. تابعی که تغییرش این‌طور است مثلا. حالا این به ما مربوط نیست. چیزی که به ما مربوط است این است که این لاپلاس چیز خوشمزه‌ای است و به درد می‌خورد.

خب حالا نسخه‌ی گسسته‌ی این لاپلاس چه می‌شود؟ وقتی ما یک چیزهای مهمی‌ در ریاضی داریم خب این‌ها باید مشابه گسسته هم داشته باشند. نسخه‌ی گسسته این‌ها هم خب جایش در ترکیبیات است. توجه کنید که جهت حرف زدن من از آنالیز به ترکیبیات است. یعنی من آنالیز بلدم می‌گذارم زیر بغلم می‌آیم در ترکیبیات که آقا این جا این‌ها را پیاده کن. دارم ایمپورت می‌کنم به ترکیبیات و این ایمپورت یکی از مسائل مورد علاقه‌ی شماست و این مثال هم برای همین است و من این طور می‌فهمم. خب حالا باید این لاپلاس را ایمپورت کنیم. اتفاقا ایمپورتش خیلی آسان می‌شود. مثلا شما فکر کن یک گراف داری. چرا گراف؟ خب من می‌خواهم نقاطی داشته باشم و جهتی که بتوانم روی آن حرکت کنم و مجموع این تغییرات را اندازه بگیرم. حالا این گراف می‌تواند وزن‌دار باشد که مقدار تغییر هم معلوم باشد، می‌تواند چندگانگی داشته باشد، یعنی ساده نباشد و .... ولی اصل حرف این است که من یک تابع دارم روی رئوس یک گراف. حالا لاپلاس این تابع می‌شود مجموع مقداری که تابع تغییر می‌کند در اطراف یک نقطه. یعنی می‌شود جمع مقدار تابع روی همه‌ی همسایه‌های آن نقطه منهای مقدار آن در همان نقطه ضرب در تعداد همسایه‌ها. مثلا وقتی لاپلاس من صفر است، یعنی که مقدار تابع روی یک راس می‌شود میانگین مقادیرش در همسایگی‌هایش. حالا یک چیزی که دغدغه‌ی شما هم حتما هست و دست کم دغدغه‌ی من است، این است که ما مریض نیستیم که مفاهیم را ببینیم نسخه‌ی فلان شکل آن‌ها چه می‌شود برای فضولی. که خب حالا یک تئوری دیروز یاد گرفتم، امروز دبه کردم که شکل گسسته‌ی این چه می‌شود. بله! این تمرین خوبی است برای این که آدمی‌زاد یک تئوری را یاد بگیرد، که تمرین کند که فلان تئوری نسخه‌ی گسسته‌اش چیست. اگر آن زیر را عوض کنم، چه می‌شود؟ اگر پیوسته‌اش کنم چه می‌شود و غیره. ولی به عنوان یک کار پژوهشی ریاضی همیشه این کار درستی نیست و ما آزار نداریم که تئوری‌ها را جا به جا کنیم. این کارها را می‌کنیم چون هدفی را دنبال می‌کنیم. از جمله اهدافی که این‌جا داریم دو نمونه بگویم. اول این که تغییر کمیت‌ها منحصر به فیزیک نیست و علوم کامپیوتر هم مملو است از موجودات متغیر. مثلا اطلاعات در یک شبکه چیزی است که تغییر می‌کند. خب این تغییرات طبیعتا گسسته‌اند و عجیب نیست که نسخه‌ی گسسته‌ی آن چه در فیزیک سر و کله‌اش پیدا می‌شود را در علوم کامپیوتر هم لازم داشته باشیم. مثلا معادله‌ی گسسته‌ی شرودینگر و گرما و … را. پس نسخه‌ی گسسته‌ی این مفاهیم مربوط به تغییرات به ما کمک می‌کند تغییرات گسسته را بفهمیم. و اما نمونه‌ی دوم. اینجا نگاهمان دوگان نگاه قبل است. ابزارهای پیوسته را می‌آوریم در دنیای گسسته نه چون می‌خواهیم درباره‌ی تغییرات گسسته حرف بزنیم بلکه برای این که اصلا می‌خواهیم درباره‌ی خود گراف حرف بزنیم یعنی دغدغه‌ی ترکیبیاتی محض داریم. یکی ممکن است بپرسد چرا باید این به درد بخورد اصلا؟ جواب من این است که به درد می‌خورد چون در نسخه‌ی توپولوژیک آن هم به درد می خورد. اجازه دهید این مطلب را کمی باز کنم. در قسمت‌های قبل دیدیم که یک روش مطالعه‌ی یک موجود ریاضی تغییر دادن یا دیفورم کردن آن است. شی را در زادگاه طبیعیش تکان می‌دهیم و از آن تکان خوردن می‌فهمیم که این شی چگونه موجودی است. یک راه دیگر هم برای شناخت اشیا وجود دارد که دوگان روش اول است. در این روش اجازه می‌دهید کمیتی روی شی تغییر کند و بعد به واسطه‌ی این تغییر ساختار شی مشخص می‌شود. این روش اصولا برای یک فضای هندسی کاربرد دارد. یک کمیتی را روی فضا تغییر می‌دهید و با نگاه کردن به کمیت‌ها فضا را می‌فهمید. این چیزیست که ما برای فهم دنیای فیزیکی هم استفاده می کنیم. این  که من بخواهم فیزیک عالم را بفهمم تنها راه عملی من اندازه‌گیری است. اندازه‌گیری یعنی اینکه کمیتی روی فضا دارم و از لنز تغییرات آن کمیت است که فضای آن زیر را می‌فهمم. در هندسه‌ی محض هم همین طور است. مثلا یک منفیلدی من به شما می‌دهم. شما می‌آیید و توابع اسکالر روی این منیفلد را در نظر می‌گیرید و با مطالعه‌ی این توابع شروع می‌کنید به فهمیدن شکل آن منیفلد. همین کار را در نسخه‌ی گسسته‌اش هم می‌شود کرد. من به شما یک گراف می‌دهم و شما می‌خواهید راجع به شکل این گراف یک چیزهایی بفهمید. یک راهی که این گراف را بفهمم این است که کمیت‌هایی روی این گراف داشته باشم که این‌ها تغییر کنند و از تغییر این‌ها و رفتار این‌ها من آمار گرافم را در بیاورم. یک نمونه‌‌ی این روش می‌شود همین لاپلاس که حرفش را زدیم که اندازه می‌گیرد که چه قدر یک تابعی دارد تغییر می‌کند در اطراف هر نقطه‌ای. این‌جا یک عالم مطلب هست. مثلا اگر مقدارویژه‌های این لاپلاس را به عنوان یک اپراتور بنویسیم، یک عالم ارتباط هست بین این مقادیر ویژه و ساختمان گراف. اگر غلط یادم نیاید قضیه معروف کیلی تعداد درخت‌ها روی n راس را می‌شمارد و تعمیمی‌ هم دارد که می‌آید تعداد درخت‌هایی که می‌پوشانند یک چیزی را می‌شمارد. برای تعمیم دادن و اثبات خود قضیه‌ی کیلی می‌شود از مقادیر ویژه‌‌ی لاپلاسین گراف استفاده کرد. یک عالم پدیده مربوط به گراف هست، راجع به همبند بودنش و ... که ارتباط وثیقی دارد به حیطه‌های مربوط به لاپلاس اپراتور روی این گراف. این هم توضیح عریض و طویل من درباره‌ی لاپلاس و فلسفه‌ی این که چرا ما باید نظریه‌‌ای را منتقل کنیم مثلا از آنالیز به ریاضیات گسسته. لاپلاسین مثال خوبی است که به ما یاد بدهد چرا ما باید تئوری‌هایمان را بیاوریم به نسخه‌ی گسسته و این چه کمکی به مطالعه‌ی موجودات گسسته می‌کند.

امیرحسین اکبرطباطبایی: درباره‌ی گراف‌های رامانوجان- من می‌خواهم اندکی هم در مورد گراف‌های رامانوجان حرف بزنم. نمی‌خواهم قصه‌ی عریض و طویلی تعریف کنم. به نظرم به عنوان یک مثال برای ما بس است. این را این جوری بخوانیم که خوب است که یک کلمه بگوییم که گراف رامانوجان چیست. در حدی که به گوش انسان بخورد. خود تعریف گراف رامانوجان بر اساس مقدار ویژه‌های ماتریس وقوع گراف است و گفتنش لطفی ندارد و شهودی به ما نمی‌دهد که چرا این‌ها گراف‌های جالبی هستند. به جای این کار من یک طور دیگر قصه را تعریف می‌کنم. اول این را بگویم که در نظریه‌ی گراف خیلی اوقات ما به گراف‌هایی علاقه داریم که همبندی خیلی قوی‌ای دارند. حالا این یعنی چه؟ یعنی تعداد همسایه‌های هر مجموعه از رئوس به نسبت خود مجموعه بزرگ است یا به تعبیر دیگر با اضافه کردن مرز هر مجموعه از رئوس آن مجموعه به اندازه‌ی قابل توجهی اکسپند می‌شود. برای صورت‌بندی این مفهوم یک گراف را c-اکسپندر گویند هرگاه برای هر مجموعه‌ی A از رئوس با تعداد رئوسی کمتر از نصف رئوس گراف، تعداد همسایه‌های A حداقل c برابر تعداد اعضای A باشد. حالا برای همبندی قوی‌تر بدیهی است که ما می‌خواهیم این مقدار c را ماکسیمم کنیم یعنی گراف‌هایی داشته باشیم که برای آن‌ها این c تا جای ممکن بزرگ باشد. فرض کنید که ما خودمان را به گراف‌های d-منتظم محدود کنیم که d مقداری ثابت است. آن وقت یک قضیه‌‌ای هست که یک کرانی برای c بر حسب d مشخص می‌کند که این مقدار همبندی از یک حدی بیشتر نمی‌شود و آن حد به مقدار ویژه‌های ماتریس وقوع گراف مربوط است. به هر حال یک کران طبیعی آن‌جا هست. حالا گراف رامانوجان گرافی d-منتظم است که c آن ماکزیمم کران ممکن را می‌گیرد. یعنی بهترین اکسپندر ممکن است. این اکسپندر خوب داشتن خیلی چیز مهمی‌ است در نظریه‌ی گراف. بالاخص در علوم نظری کامپیوتر خیلی عجیب سر و کله اش پیدا می‌شود. ساختن خانواده‌هایی از گراف‌ها که c-اکسپندر باشند و c هم نسبتا بزرگ باشد کار آسانی نیست. حدس‌هایی وجود دارد و یک ارتباط عمیق و وثیقی هم دارد به حدس ریمان روی گراف‌ها. حالا در حالت گراف‌های رامانوجان فیلیپس و سارنک یک خانواده از این گراف‌های رامانوجان که بهترین اکسپندرها هستند ساخته‌اند که مبنایش نظریه‌ی اعداد است. این هم درباره‌ی گراف‌های رامانوجان.

امیرحسین اکبرطباطبایی: درباره‌ی مورفیسم و حد- می‌خواهم از شما بخواهم یک وجه منفی از ترکیبیات را که از آن حرف زدیم برایم باز کنید و آن هم فقدان مورفیسم در ترکیبیات است به شکلی که عرض می‌کنم. می‌گوییم که مورفیسم کجاست در ترکیبات؟ این همه ساختار در ترکیبات داریم و این ساختارها مورفیسم می‌خواهد. چرا مورفیسم می‌خواهد؟ خب تجربه‌ی ریاضی ما در قرن گذشته نشان داده که اگر مورفیسم از خود ساختار مهم‌تر نباشد حداقل به همان اندازه مهم است و دلیل شهودیش هم این است که تغییرات یک ساختار که توسط مورف‌ها دیده می‌شود به ما چیزهایی درباره‌ی خود ساختار یاد می‌دهد. بنابراین صلاح این است که وقتی از یک شی ریاضی حرف می‌زنیم، یک مفهوم معقولی از مورفیسم بین آن اشیا هم داشته باشیم. بعد من می‌آیم جای شما می‌نشینم و دو کلمه غر می زنم که خیلی اوقات موجودات ترکیباتی ما اصلا هیچ نوع مورفیسمی بینشان ندارند. مثلا طرح‌های بلوکی مورفیسمش کجاست؟ دست کم من ندیده‌ام و شاید هم من بلد نیستم. اما به نظر می‌رسد که در ترکیبیات اکثر اوقات از مورفیسم یک کلمه هم حرف نمی‌زنیم و اگر هم که حرف می‌زنیم، مثلا در کیس گراف، این مورفسیم‌ها اهمیت خاصی ندارند در نظریه یا دست‌کم آن قدر که باید باشد ندارند. ما که فقط نمی‌خواهیم مورفیسم داشته باشیم که حوصله‌مان سر رفته. حالا که اشیایی داریم مورفیسم هم داشته باشیم. این مورفیسم قرار است به ما کمک بکند. حالا من می‌خواهم که شما یک فایده‌ی مورفیسم را به سلیقه‌ی خودتان در ساختارهای ترکیبیاتی یا همین گراف توضیح بدهید. گراف باشد حتی بهتر است چون کمی‌ ساده‌‌تر است. مثلا فرض کنید من کار به تجربه‌ی ریاضی بشری ندارم چرا که اگر شما به اندازه‌ی کافی از تجربه‌ی ریاضی قرن قبل بدانید حدستان همیشه این است که مورفیسم لازم است. ولی فرض کنید من به این تجربه دسترسی ندارم و می‌خواهید برای اولین بار به من بفهمانید که مورفیسم مهم است نه به این دلیل  که تاریخ این طور می‌گوید که به این خاطر که یک کارهایی را واقعا نمی‌شود بدون مورفیسم صورت داد یا اگر هم بشود نتیجه‌ی کار شلوغ و کثیف می‌شود. یک کارهایی که آدمی‌زاد دوست دارد بکند، مثل همین لیمیت و پروآبجکت و این ها که مثال می‌زنید و خوب است به نظرم. خیلی به نظرم پتانسیل این را دارد که بعد بگویید من مورفیسم ندارم و این‌ها را درباره اش نمی توانم مثل آدم حرف بزنم. چه می‌دانم مثلا می‌توانید بگویید که درباره‌ی زیر گراف می‌توانیم ‌بدون مورفسیم هم حرف بزنیم، اما درباره‌ی خارج‌قسمت گراف‌ها بهتر است که مورفسیم داشته باشیم تا کار تمیزتر در بیاید. می‌خواهم یک جایی فرود بیاییم و درباره‌ی مورف در مسئله‌هایی ملموس حرف بزنیم شبیه کاری که در مورد آنالیز روی گراف کردیم مثلا. بگذارید اصلا این  طور بپرسم. اگر بخواهم یک بهانه ای بدهم دستتان که کدام طرفی بروید، من می‌گویم که حالا که شما فکر می‌کنید که پرو آبجکت خانواده ای از گراف‌های متناهی مهم است همان طور که گروه پرو فاینایت مهم است، بیایید من را درباره‌ی این اهمیت قانع کنید. بگویید چه چیزی به لحاظ شهودی یا فنی این جا هست که مهم است. اصلا این گذر به لیمیت قرار است برای من چه  کار کند که همین الان با دست نمی توانم بکنم؟ این چه فایده‌ای می‌تواند داشته باشد؟ بعد از این مطلب استفاده کنید و من را راضی کنید که خب این کارها مورفیسم لازم دارد و باید مورفیسم بین موجودات را تعریف کنیم دیگر. حالا ببینید که با من چه قدر موافقید که آیا بمانیم روی همین مساله یا نه؟ بعد یکی یکی عوض کنیم جایمان را و برویم جاهای دیگر هم.

آرش رستگار: درباره‌ی نیاز ریاضیات متناهی به ریاضیات نامتناهی- دکتر محمد گلشنی برای من تعریف کرده بود. اسمش یادم نیست. می‌گفت دنباله‌ی اعداد صحیح را در نظر بگیرید و با یک عدد شروع کنید. آن اعداد را در مبنای 2 بنویسید. بعد یک بسطی می‌شود از توان‌های 2 با یک ضرایبی که صفر و یک هستند. به جای 2 بگذارید 3، هر عددی شد آن را منهای 1 کنید در همان مبنای 3. بعد به جای 3 بگذارید 4، بعد منهای 1 کنید. بعد دوباره بسط در مبنای 4 را درنظر بگیرید و به جای 4 بزارید 5 و بعد منهای 1 کنید. به جای توان‌های 4 می‌گذارید توان‌های 5. با این روش بعد از متناهی مرحله به صفر می‌رسید. با هر عددی هم شروع کنید. ثابت شده که این با اصول پئانو ثابت نمی‌شود و شما حتما برای اثبات چنین حکمی‌ که یک حکمی‌ راجع به تناهی هست به کاردینالیتی‌های خیلی خیلی خیلی بزرگ نیاز دارید. حالا من نمی‌فهمم محمد می‌گفت اوردینال امگا به توان امگا به توان امگا و الی آخر، به همچین چیزی احتیاج دارید. فکر کنم این آن مثالی است که شما را خوشحال کند یا این نوع را دنبالش می‌گشتید.

آرش رستگار: درباره‌ی نیاز ریاضیات گسسته به ریاضیات پیوسته- شما مشتق و انتگرال را که در فرمت فاینایت دیفرنس در نظر می‌گیرید، مشتق می‌شود f(n+1)-f(n) تابع تفاضل، ورژن گسسته‌اش. انتگرال هم ورژن گسسته‌اش می‌شود مجموع. این‌که انتگرال مشتق چه می‌شود، می شود یک جمع تلسکوپی که می‌شود آخری منهای اولی. انتگرال مشتق می‌شود f(b)-f(a) و برعکسش هم همین‌طور. شما وقتی ورژن پیوسته را می‌فهمی، انتگرال و مشتق و خط مماس را می‌فهمی، برمی‌گردی ورژن گسسته را می‌فهمی، می‌بینی ای بابا من که اصلا نفهمیده بودم. فکر کردم این یک جمع و تفریق و یک تلسکوپی و این‌ها بوده. همه هندسه داستان و آن روند تغییر و ارتباط بین مفهوم مساحت و مفهوم خط مماس و این‌ها و پرسپکتیوی که به ریاضیات گسسته می‌دهد، بعد از این که ما آنالوگ پیوسته‌اش را پیدا کردیم است که می‌فهمیم. قبلش که نمی‌فهمیدیم. یعنی ما ریاضیات گسسته را خیلی وقت‌ها نمی‌توانیم و آن قدر ذهنمان تجرد ندارد که در آن حقایق پیوسته را ببینیم. حالا جالب این است که بسط تیلور پیوسته را اولین بار لایبنیتس نوشته و بسط تیلور گسسته را اولین بار نیوتن نوشته. جل الخالق.

آرش رستگار: راجع به اهمیت مورفیسم و دگردیسی در ترکیبیات- بگذارید مثال مورفیسم و دگردیسی را با هم بزنم. فرض کنید من می‌خواهم در مورد مورفیسم‌های پوشا صحبت کنم. شما مورفیسم‌های پوشا را با متناهی تا کلپس کردن می‌توانید درست کنید. یعنی راس‌های مجاور را می‌توانید کلپس کنید. به همچنین چیزی بگویید یک حرکت. و وقتی شما یک گراف و دو تا راس همسایه‌اش را کلپس می‌کنید بیایید گراف اولی را به گراف دومی ‌مپ کنید. هر رأسی به رأس متناظرش و زیرش هم یک راس بگذارید که این ها به هم مپ بشوند و حالا مدولار اسپیس همه گراف های ممکن را در نظر بگیرید و در آن نگاه کنید که با کلپس شدن در آن چه جوری از گراف اولیه رسیدیم به گرافی که هدف گراف مورفیسم ماست. از گراف مبدأ رسیدیم به گراف مقصد با یک تعدادی کلپس کردن. بعد که این‌کار را کردیم، عرض شود که، یک سری یال را کلپس کردیم، می‌بینید که روش هایی که کلپس‌ها به شما می‌دهند یک روش نیست. یعنی به جور‌های مختلفی می‌توانید آن کلپس ها را انجام بدهید و بنابراین آن مورفیسم شما یک مسیری یا چندین مسیر که روی مدولار اسپیس می‌رود را آن بگیرید که از گراف مبدأ به گراف مقصد می‌روند. بعد می‌شود فهمید این مسیر‌ها به هم می‌روند یا که نمی‌توانند به هم بروند، که بعد می‌شود همان ایده هموتوپی تئوری و بعد به ما می‌گوید: ای بابا اگر ما بخواهیم کتگوری تئوری را پیوسته کنیم، به جای مورفیسم باید یک چیزی شبیه هموتوپی بگذاریم و بعد می‌گوییم عجب درسی ما از این مورفیسم‌های گراف ها گرفتیم. درسی فلسفی که تازه به درد معمولی‌مان هم نخورد. راجع به لیمیت اگر بخواهم مثال بزنم، بگذار آن را جدا بزنم.

آرش رستگار: درباره‌ی اهمیت حد در ترکیبیات- این قسمت درباره اهمیت لیمیت گرفتن در آبجکت‌های متناهی است. این اولا تکنیکال است اما اشکالی ندارد، شما خیلی وقت‌ها در کتگوری وقتی یک فانکتوری نمایش‌پذیر می‌شود توسط اعضای همان کتگوری نمایش‌پذیر نیست. با یک پروآبجکت نمایش داده می‌شود و خیلی وقت‌ها در همان پرو‌کتگوری هم همان فانکتورها را در نظر بگیرید، دیگر توسط پروابجکت نمایش‌پذیر نیست. بنابراین یک ذره پیچیده است به زبان دانشجو بخواهم یک مثال بزنم که متوجه بشود. شما گروه متناهی می‌خوانید، گروه گالوا هم که ایده‌ی گروه متناهی از آن‌جا آمده می‌خوانید و سوال این است که همه این گروه‌های متناهی که گروه گالوای یک توسیعی هستند را بخواهیم با هم مطالعه کنیم، چه‌کار کنیم. خب مورفیسم‌های بینشان و لیمیت‌های بینشان را در نظر بگیریم که بشود گروه گالوای ℚ و با ℚ مطالعه اش کنیم.  خب چه کاری است. دانه دانه مطالعه کنیم. اصلا خیلی وقت‌ها مسائلی هستند که شما هی مجبورید بروید روی میدان بزرگتر. اگر هی نروید روی میدان بزرگتر که معلوم هم نیست چه‌قدر بزرگتر و هر دفعه روی هر مثالی فرق می‌کند، نمی‌توانیم مسئله را حل کنیم. پس مجبوریم به زبان گالوا Qp یا ℚ فکر کنیم. هی برویم به توسیع با گروه گالوای بزرگتر. اگر نخواهید این‌جوری فکر کنید، نمی‌خواهید نظریه اعداد انجام بدهید.  بیس اکستنشن یک تکنیک مهمی‌ است که کار را ساده می‌کند. حالا می‌کند، یکی بگوید که این که شد نظریه اعداد، گروه متناهی، یا گروه گالوا، و این‌ها ترکیبیات نیست که. یک چیز ترکیبیات بگو. عرض شود که حدس abc  شنیدید؟ می‌گوید که اگر a+b بشود c، صحیح مثبت باشند، c که ماکسیمم a و b و c کوچکتر مساوی با C اندیس اپسیلون ضرب در رادیکال abc به توان یک به علاوه اپسیلون است.  رادیکال abc هم حاصل‌ضرب پرایم هایی که a، b، c را عاد می‌کنند. خب این حدس معادل یک حدس وُیتا می‌شود که روی الجبراییک کِرو هست، ولی بعد که می‌خواهیم آن را با این معادله و این را با آن معادله مقایسه کنیم، می‌بینیم که باید نامتناهی تا مثلا خم های فرما، که برای n به سمت بی‌نهایت میل می‌کنند را استفاده کنیم. حدس ویتا را باید بی‌نهایت بار ثابت کنید تا بتوانید a، b، c کانجتر رو ثابت کنید. خب این نشان می‌دهد حقیقتی راجع به نامتناهی تا الجبریک کِرو وجود دارد که در همچین نامساوی‌ای خلاصه شده است. خب پس این یک مثالی است که یک چیز‌هایی به زبان متناهی بیان می‌شوند و کامپلکسیتی آن‌ها اینفینیت است و باید با لیمیت گرفتن و با اینفینت فکر کردن آن‌ها را فهمید. الان باز می‌گویید مثال خوبی نیست و بگذارید ببینم چه مثالی می‌توانم بزنم. عرض شود که در ترکیبیات بخواهیم حد بگیریم، راستش من از دکتر خسروشاهی پرسیدیم یک ریفر کرد به یک کتابی که یکی از نویسنده هایش لوواس بود. راجع به حد گراف‌ها، ولی  به همان معنای آنالیزی. اصلا متوجه آن چیزی که من می‌گویم حد، به معنای جبری یعنی چه نبودند. ولی حد به معنای آنالیزی، لوواس به احتمال خیلی زیاد گراف تئوری استفاده کرده بود و یک کتاب نوشته بود. یعنی این‌که یک گرافی شما نقاطش را یک جور‌هایی حد بگیرید و گراف های دیگری را درست کنید. حد به معنی هندسی. این‌هم اگر دوست ندارید و حتما باید جبری باشد، چه دیگر می‌توانم بگویم جبری باشد. شما ℤ تقسیم بر nℤ را بخواهید بفهمید، موجودات ترکیبیاتی هستند دیگر. لیمیتش را می‌گیرید. باید ℤ هَت را بفهمید که حاصل‌ضرب Zp هَت هاست.

آرش رستگار: درباره‌ی اهمیت توپولوژی روی اشیای فرامتناهی- داشتم می‌گفتم که شما لیمیت  ℤ تقسیم بر nℤ ها را می‌گیرید می‌شود ℤ هَت. خب می‌پرسید ما با  ℤ تقسیم بر nℤ ها کار می‌کردیم دیگر، چه کاری است با ℤ هَت کار کنیم. همین سوال برای اشیای متناهی هم جوابش می‌تواند ولید باشد. این‌ها اشیاء متناهی هستند. آن لیمیتش را که ℤ هت می‌گیرید، آن یک جوری یک موجود نامتناهی است. اون ℤ هَت یک کاسه شده همه ℤ تقسیم بر nℤ هاست. مثلا شما می‌توانید GLn یک ℤ هَت را در نظر بگیرید. یا GLn یک Zp هَت را در نظر بگیرید. که لیمیت ℤ  تقسیم بر p به توان nℤ هاست. این یک توپولوژی دارد. کوفاینایت توپولوژی دارد و این توپولوژی باعث می‌شود که مطالعه اش راحت‌تر بشود. مطالعه یک کاسه همه آن موجودات متناهی راحت‌تر بشود. شبیه این در گروه گالوا هم هست. گروه گالوا یک پروفاینایت توپولوژی دارد. دیسکریت توپولوژی گروه‌های متناهی گالوا لیمیتش یک توپولوژی به اسم کرول توپولوژی، اگر اشتباه یادم نباشد روی گروه گالوا می‌گذارد که باعث می‌شود این پروفاینایت گروه‌ها، توپولوژی گروپ باشند. خب بعد توپولوژی می‌آید در کار. یعنی حتی به معنای غیرجبری، حتی به معنای هندسی آنالیز می‌آید در کار. به چه درد می‌خورد. بگذار این‌جور بگویم، به این درد می‌خورد به طور خلاصه. ما یک بحث‌هایی قدیمی ‌فکری با شما داشتیم که در آن‌جا من راجع به این صحبت می‌کردم که، با شما نداشتیم، با دکتر محمد گلشنی داشتیم و از شما هم پرسیدم، که ما خیلی وقت‌ها می‌خواهیم یک چیزی را ثابت کنیم، نمی‌توانیم محاسبه کنیم راجع به موجوداتی که می‌خواهیم آن چیز را ثابت کنیم. ولی یک زیر‌مجموعه چگال آن‌‌ها هست که آن‌جا می‌توانیم محاسبه کنیم. قضیه را ثابت کنیم. بعد با حدگیری در حالت‌های کلی قضیه را ثابت کنیم. همین اتفاق هم برای این موجودات متناهی می‌افتد. وقتی که لیمیت می‌گیریم، آن‌جا فمیلی به معنای توپولوژی معنی پیدا می‌کند، بعد می‌توانید از یک کارهایی که می‌توانید بکنید بستار بگیرید و این کارها را روی بستارش هم انجام بدهید. یک مثال دیگر که الان یادم آمد گفتم بستار. می‌خواهم ببینم می‌توانم زورچپون کنم این‌جا بگویم راجع به تین گروپ. زیرگروه گروهای خطی که چگال نیستن با زاریسکی توپولوژی. حالا من می‌توانم بگویم زاریسکی توپولوژی یک چیز کاملا کامبینیتورال است. حالا بگذار فشار نیاورم اگر یکی گفت تو اگر می‌خواهی فشار بیاوری این را انجام بدهی، یک دفعه بگو اسم من آرش رستگار نیست. امیرحسین اکبر طباطبایی است. اون‌ هم می‌شود گفت. بنابراین بگذار فشار نیاورم.

آرش رستگار: فورستنبرگ و قضیه واندرواردن- یک مثال از کار خوبی که در ترکیبیات انجام شده باشد، یک قضیه وجود دارد به اسم واندرواردن که می‌گوید که اگر اعداد طبیعی را با متناهی تا رنگ، رنگ کنیم، همیشه یک رنگی وجود دارد که تصاعد حسابی نامتناهی به طول دلخواه دارد. این یک قضیه‌ی ترکیبیاتی است که با نظریه‌ی رمزی هم اثباتش می‌کنند. ولی فورستنبرگ یک مکتبی دارد که می‌آیند روی اعداد صحیح یک توپولوژی متمم متناهی می‌گذارند و بعد یک سیستم دینامیکی به آن نسبت می‌د‌هند و با آن ایده سیستم‌های دینامیکی و قضایایی که راجع به مِژرها و این‌ها دارند، و مِژرهایی که به طور طبیعی تعریف می‌کنند، این قضیه را ثابت می‌کنند و این خیلی کار بزرگی است. این نگاه که شما از توپولوژی استفاده کنید و بعد از هندسه ایده بگیرید در مورد اشیائی که گسسته‌اند، یا حتی متناهی‌اند، یا قضایایی که برای اثبات آن‌ها ریاضیات متناهی کفایت می‌کند. این خیلی پروژه بزرگی بوده و کار فورستنبرگ و شاگردهایش خیلی موفق بوده است. ما که دانشجویان کارشناسی بودیم، علاقه‌مان نظریه اعداد بود، ولی با دکتر شهشهانی درس‌های سیستم‌های دینامیکی می‌گذراندیم، هم حقیقی و هم مختلط. دکتر شهشهانی برای این‌که ما را تشویق کند، کتاب فورستنبرگ را داد بخوانیم. ولی آخرش ما به سیستم‌های دینامیکی که به آن معنای سیلورمن باشد، مثلا در نظریه اعداد، علاقه‌مند شدیم. این هم از یک کار خوب انجام شده.

 

آرش رستگار: یک اشکال فلسفی روش انجام ترکیبیات در عصر ما- عرض شود که یک کاری که در ترکیبیات انجام نمی‌شود و فلسفی است، مربوط به ایده‌هایی که از شاخه‌های دیگر ریاضیات می‌آید نیست. فلسفی است. این کار این است که این‌ها هی می‌گویند این شیء های ما مهم هستند. به خاطر علوم کامپیوتر این‌جوری هستند. علوم کامپیوتر همچین سوالاتی دارد. ما می‌گوییم بسیار خب. مثلا می‌گوییم گراف، می‌گویند گراف اینترنت مهم است. می‌گوییم باشد. می‌آیند راجع به رنگ آمیزی گراف کامپلیمنت n رأسی صحبت می‌کنند. بعد می‌کنند دو بخشی. بعد می‌کنند سه بخشی. بعد شما مگر نگفتید علوم کامپيوتر مهم است اصلا با این گراف‌ها دارید چه‌کار می‌کنید؟  اگر گراف‌هایتان مهم هستند خب بگویید این گراف‌هایتان چرا مهم هستند. و اگر می‌گویید این گراف‌ها چرا مهم هستند، باید بگویید رنگ آمیزی این گراف‌ها چرا مهم هستند. نمی‌توانیم بگوییم ما اول برای گراف های پنج رأسی و شش رأسی و ده رأسی می‌خواهیم فکر کنیم، تا بعد نوبت برسد به گراف اینترنت. نه این‌جوری نمی‌شود ریاضی انجام داد. ما را گول نزنید و خودتان را هم گول نزنید. شما باید دلیل داشته باشید. چرا یک مفهومی ‌رِلونت است؟ چرا مطالعه‌اش مهم است؟ این دلیل‌ها لازم نیست بیرون ریاضی باشد. می‌تواند داخل ریاضی باشد. مثلا بگوییم این مفهوم اگر خوب فهمیده بشود، فلان مفهوم که من قبلا توضیح دادم، چرا مهم می‌شود و یا بهتر و راحت‌تر فهمیده می‌شود. ولی خب این سیستم می‌خواهد دیگر. چه سیستمی‌ می‌خواهد؟ هایرارکی می‌خواهد. چه‌جور هایرارکی؟ مثل روش ریاضی انجام دادن اقلیدس. ریاضی که شما از یک سری اصول موضوعه، در طبقه اول یک سری قضایا اثبات می‌کنید و از آن قضایا در طبقه دوم و یک سری قضایای دیگر، و طبقه سوم همین‌طور. بعد بعضی وقت‌ها این طبقات می‌توانند یکی دوتا جابه‌جا بشوند. خیلی هم دقیق نیست. اول بریم آن قضیه را ثابت کنیم، بعد از روی آن برویم آن قضیه را ثابت کنیم و مانند این. این‌که بگوییم چه چیزی در ریاضی مهم است، مطالعه‌اش عین همین روش اقلیدس است ،که شما خیلی دوست دارید بدانید رده‌بندی گروه‌های ساده متناهی چرا مهم هستند؟ رده‌بندی گروه‌های حل‌پذیر متناهی چرا مهم هستند؟ اصلا رده‌بندی همه گروه‌های متناهی چرا مهم هستند؟ خب اگر شما بگویید که یک سری گروه‌ها پیدا می‌کنیم که یک سری ناورداها از آن‌ها پیدا می‌کنیم، بعد می‌رویم جدول‌مان را نگاه می‌کنیم، می‌بینیم که سه تا گروه بیشتر نیست که آن خواص را داشته باشند و آن گروه‌ها‌ را خواصشان را مطالعه می‌کنیم، می‌بینیم ای بابا آن گروه ما فقط یکی از این‌ها می‌تواند باشد. اگر می‌خواهیم بگوییم که کاربرد رده‌بندی همه گروه‌های متناهی همچنین چیزی است و بدانیم که ریاضی این‌جوری انجام نمی‌دهند. این‌که شما بیایید رده بندی کنید، لیست کنید و از روی لیستتان ببینید کدام کدام است، این همان طور انجام دادن ریاضیات و نفهمیدن آن است. خوب است بدانید اثبات شیمورا-تانیاما-ویل در حالت کلی هم همین‌جوری بوده که در آخر مثال‌هایی بوده که از روی جدول‌های مدولار فرم و الیپتیک کِروهایی که می‌دانستند مدولار هستند، همه الیپتیک کِرو‌های روی ℚ مدولار را ثابت کردند. این فهمیدن نیست. بعد که اثبات کیسین و تیلور و وایلز آمد، باعث شد اوضاع بهتر شود. الان هم کسی هنوز نمی‌داند آن تعریف شیمورا، که هر الیپتیک کِرو روی ℚ چرا باید یک خم مدولار  به آن مپ شود؟ هیچ کس نمی‌داند و همه اصلا فراموش کردند. نشان به آن نشان که در فانکشن فیلد، الیپتیک کِروهای مدولار به این معنی شیمورایی اصلا مطالعه نمی‌شوند. گالوا رپرزنتیشن‌های اسوشییتد به الیپتیک کِروها مطالعه نمی‌شوند. آن‌جا می‌دانید هر گالوا رپرزنتیشنی مدولار است و گالوا رپرزنتیشن اسوشیتد به مدولار را کار داریم و اصلا الیپتیک را فراموش کردید، در صورتی که آن‌جا هم معنی دارد. خب این چه کاریست؟ چرا ما باید نفهمیم هر الیپتیک کِروی روی ℚ یک مدولار کِرو به آن مپ می‌شود؟ باید مستقیم بفهمیم. نمی‌فهمیم.  بحثمان را باید ببریم دور کوه دماوند و از آن طرف بیاییم بکنیم در دهانمان. چرا؟ این چه‌جور ریاضی انجام دادنی است؟ این‌طوری نظریه اعداد انجام دادن هم درست نیست، چه برسد به ترکیبیات انجام دادن. بنابراین شما باید بفهمید چی مهم است و چرا مهم است و یک نظام هایرارکی داشته باشید. الان در ریاضیات در عصر حاضر همچنین چیزی مکتوب نیست. این‌ها سینه به سینه حمل می‌شود و باید از کله گنده‌ها بپرسید چی مهم است و چرا مهم است. در آخر هم می‌گوید آندره وِی گفته فلان چیز مهم است. کوتیشن می‌آورد مثل سارنک که می‌گوید آندره وِی این را گفت و آندره وِی آن را گفت. خب تو چه می‌گویی. و آندره وِی مُرد. بلکه اشتباه کرد. باید آندره وِی باشد و از خودش دفاع کند. وقتی نیست، تو باید بگویی چه چیز مهم است و چرا مهم است. نمی‌شود از کردیت کسی قرض بگیری.

امیرحسین اکبرطباطبایی: قضیه‌ی گودشتاین و امثال آن- من می‌خواهم که اول درباره‌ی این مثالی که از دکتر گلشنی نقل می‌کنید یک کمی‌ حرف بزنم. حالا این‌جا از قضا شما وارد شدید به حوزه‌ی تخصصی من که می‌شود حساب به معنی منطقی کلمه، یعنی مثلا مطالعه‌ی حساب‌های مرتبه‌ی اول و فرگمنت‌هایش و استقراهای نامتناهی مربوطه و غیره. این قضیه‌ای که می‌گویید به آن می‌گویند قضیه‌ی گودشتاین و مثال خیلی خوشمزه‌ای است از ارتباط متناهی و نامتناهی. من یادم است که درسی می‌دادم درباره‌ی نظریه‌ی اثبات حساب در دانشگاه تهران. بعد آن‌جا درباره‌ی اثبات‌ناپذیری همین موضوع به عنوان یک مثال خیلی خوشمزه حرف می‌زدیم. باز هم هست از این مثال‌ها. همین مثال یک شکل خیلی حماسی‌تری هم دارد که درباره‌ی جنگ بین هرکول و هیدراست. دقیق یادم نیست و اگر بگویم ممکن است اشتباه بگویم ولی می‌توانید به راحتی در ویکی‌پدیا پیدایش کنید. داستان این است که هیدرا یک درختی است که هر جایی از آن را که قطع می‌کنید مثلا به یک سبکی، هیدرا از آن نقطه یک نقطه می‌آید پایین‌تر، ولی دوباره همان مقداری که بریدید، سر درمی‌آورد، یعنی خیلی زیاد سرهای جدید پیدا می‌کند در هر مرحله. اما خب عمقش یکی کم می‌شود و بعد قضیه این است که اگر چه که ظاهرا دارد خیلی بزرگ می‌شود، شبیه این عدد که می‌گویید وقتی ما دو را می‌کنیم سه، سه را می‌کنیم چهار و غیره، خیلی بزرگ می‌شود، ولی در نهایت هرکول موفق می‌شود که هیدرا را بکشد یعنی درخت می‌رسد به ریشه. اینجا هم مثل مثال شما، این حکم که می‌رسیم به ریشه مستقل از حساب پئانو است. حالا برای این رسیدن به ریشه اثبات‌های مختلفی هم هست و اثبات معقولش هم همین‌طور است که می‌گویید. یعنی با استفاده از اوردینال‌هاست و اثبات خیلی آسانی هم است. اثبات این است که این پروسه‌ای که توضیح دادیم اگر متناظرش کنیم با اوردینال‌ها یک پروسه‌ی اکیدا نزولی است و در نتیجه متوقف می‌شود. حالا البته در مثال شما یک کم دقیق‌تر باید می‌گفتیم صورت قضیه را. پروسه این است که اعداد را باید به شکل قوی در پایه‌ی مثلا دو، سه، چهار و غیره بنویسید. به شکل قوی یعنی این‌ که مثلا فرض کنید عدد را بنویسید در پایه‌ی چهار، بعد توان‌هایی که استفاده کرده‌اید را هم در پایه‌ی چهار بنویسید و پایه‌های آن را و الی آخر. بعد در مرحله‌ی بعد همه‌ی آن چهار‌ها را باید بکنیم پنج و به همین صورت ادامه بدهیم. بعد ایده خیلی ساده است. می‌گوید همه‌ی این‌ پایه‌ها را بکنید امگا یعنی کوچکترین اوردینال نامتناهی. همه‌ی این چهار و پنج و این‌‌ها را بکنید امگا، یعنی فراموش کنید که دارید عوضش می‌کنید. بعد به راحتی می‌توانید ببینید که در واقع این دنباله‌ای که دارید درست می‌کنید یک دنباله‌ی نزولی اکید اوردینالی است و در نتیجه  پس از متناهی مرحله می‌رسد به صفر. به خاطر این‌ که اوردینال‌ها خوش‌ترتیبند. حالا اوردینال‌هایی که دارید روی آن کار می‌کنید چه اوردینال‌هایی هستند؟ خب طبق نحوه‌ی ساختشان این‌ها کوچک‌ترند از امگا به توان امگا به توان امگا به تعداد نامتناهی. به این اوردینال می‌گویند اپسیلون صفر. بنابراین در اثباتمان داریم از خوش‌ترتیبی یا معادلا استقرا استفاده می‌کنیم روی اوردینال‌های زیر اپسیلون صفر و این استقرا اثبات‌ناپذیر است در حساب پئانو. چرا؟ چون اگر اثبات‌پذیر می‌بود می‌توانستیم به کمکش سازگاری حساب را ثابت کنیم. اما قضیه‌ی دوم ناتمامیت گودل می‌گوید که نمی‌توانیم سازگاری حساب را در خود حساب ثابت کنیم. حالا البته که صرف این‌ که به این استقرا احتیاج داریم دلیل نمی‌شود که بدون آن نتوانیم قضیه‌ی گوشتاین را ثابت کنیم. اما می‌شود ثابت کرد که کلا نمی‌توانیم آن را ثابت کنیم که خودش یک داستان دیگری است. از این‌ مثال‌ها هست و کم هم نیست. ولی با این‌ که فیلد خود من هم هست، اما من اصلا خوشحال نیستم از این مثال. علت هم این است که من طی این مثال‌هایی که الان زدید، یک چیزی فهمیدم که می‌خواهم چیزی به فرمت کارمان (از رهبری هم سوء استفاده می‌کنم) اضافه کنم و آن این است که یک عالم کاربرد از چیزهای مختلف این طرف و آن طرف هست اما من آن‌هایی را دنبالشان هستم که مهم باشند، آن‌هایی که یک حال ستون طوری داشته باشند. یک چیز اتفاقی یک گوشه‌ای که فنی است، یک چیزی که ده تا چیز با هم قاطی می‌شود، نباشد. حالا قابل فهم باشد برای مردم، ولی یک حال ستونی هم داشته باشد که بشود روی آن یک چیزی بنا کرد. خیلی عظیم باشد. یک جور نگرش باشد تا یک قضیه. یک جور شبیه دیفورمیشن باشد یا فایبریشن یا انتقال آنالیز به نظریه‌ی گراف. این‌ها به نظرم یک ستون‌های کلی هستند که به ما چیزهای مهمی یاد می‌دهند. بنابراین این قضیه را به عنوان استفاده‌ی نامتناهی در دنیای متناهی می‌خواهم که قبول نکنم. یعنی می‌خواهم یک ماشین عریض و طویل جدی‌تری بدهید. چیزی که یک تئوری نامتناهی را به جدیت منتقل کند به دنیای متناهی. یک دانش جدی به من منتقل کند. شبیه این که بگویید ببین یک آنولوژی مهم آن‌جا هست که از آن من استفاده می‌کنم و دیتا را از بینهایت می‌آورم به متناهی. نه فقط یک تکنیک یا یک ابزارک. مثلا در مورد دیفورمیشن که فکر می‌کنید یا در مورد فهمیدن فرم گراف، بر اساس تغییر اسکالر رویش ما داریم یک چیز عمیقی را آن وسط لمس می‌کنیم و این‌جا من این حس را ندارم. به نظر من باید چیزی پیدا کنید که واقعا یک چیز عمیقی را لمس کند. حالا پیدا کردن این خودش کاری است. البته که این مثال شما مثال خوبی است  و این‌ جور کارها مفرحند، ولی بعضی چیزها به نظر من مفرح است اما عمیق نیست و من این مثال را این‌ طور می‌یابم. یک عالم تئوری عریض و طویل در حساب هست در این باره، ولی خب دلیل نمی‌شود که این مطلب عمیق باشد. این از سلیقه‌ی من حقیر درباره‌ی استفاده از اوردینال در اثبات کردن چیزهایی درباره‌ی موجودات متناهی. نکته‌ی آخر هم این که آن‌ مطلبی را هم که می‌گویید کاردینال بزرگ نیاز است، متاسفانه این طور نیست. این اوردینال اپسیلون صفر آن‌چنان بزرگ نیست و در واقع شماراست. بنابراین جای خالی یک مثال عمیق از ظهور نامتناهی در دنیای متناهی را هنوز من نگه می‌دارم در لیستمان.

امیرحسین اکبرطباطبایی: هندسه‌ی جبری در دنیای گسسته- عرضم به حضورتان که این درباره‌ی ریاضیات گسسته است، در واقع نیازش به ریاضیات پیوسته که می‌شود در جواب به مباحثات قبلی. نکات خوشمزه‌ای می‌گوییم و اصلا حالا این در آن سه‌تایی‌ها نیست واقعا، ولی خودش همین‌جوری خالی، حرف مهمی‌ است که ما گاهی در دنیای گسسته، به خاطر گسستگی، یک میزانی از نابینایی داریم، کور هستیم نسبت به دیدن یک چیز‌هایی. شاید بشود تصور کرد برعکسش هم درست باشد و بگذارید یک چند خطی در این باره حرف بزنم و بعد برگردم سر حرف شما. حرفم این است که در دنیای پیوسته هم کوری‌هایی داریم که باید گسسته فکر کنیم تا آن‌ها را بفهمیم و مثالم هم از قضا همین مثال شماست. همین حساب دیفرانسیلی که درست می‌کنیم و دست انداختنش به بینهایت کوچک‌ها. انگار که داریم فضا را گسسته می‌کنیم، خرد می‌کنیم به بازه‌های بینهایت کوچک. این‌جا می‌نویسیم و حد می‌گیریم. انتگرال را می‌کنیم یک سری جمع متناهی، می‌فهمیم آن را و بعد در یک عمل حد‌گیری به‌ دست می‌آوریم نتیجه‌مان را. این طرفش خب داریم متناهی یا گسسته را راحت‌تر می‌فهمیم. در واقع پیوسته را فرومی‌کاهیم به گسسته که شروع کنیم فهمیدن این‌که چه‌ جوری دارد کار می‌کند. در آنالیز این بازی با اپسیلون و این‌ها و ریداکشن آن‌ها به یک جور ساختمان گسسته، کار معمولی‌ است که کمک می‌کند به فهم ما. حالا بگذارید برگردیم به حرف شما. خب شما می‌گویید ما از پیوستار یک درکی داریم مستقلا. آن درک می‌تواند کمک کند و چون این جا دیتای بیشتری نسبت به دنیای گسسته موجود است، ساختمان‌های بیشتری هم هست و در نتیجه ما یک چیز‌هایی را می‌بینیم که قبلا نمی‌دیدیم. یا آن طور که باید نمی‌دیدیم یعنی اهمیتشان را نمی‌فهمیدیم. گاهی ساختار وقتی می‌آید به دنیای گسسته بخشی از آن تریویالایز می‌شود و اصلا دیده نمی‌شود. خب این حرف حساب است. حالا نمی‌دانم صحیح است که از این فرصت سوء استفاده کنم و بحث جدیدی باز کنم یا آن را بگذارم آن وقتی که رسیدیم سراغ هندسه. ولی شاید هم وقتش است همین‌جا فضولی‌ام را بکنم. بگذارید تلاشم را بکنم. اگر جواب نداد و حس کردیم که نابه‌جاست، آن وقت شما من را راهنمایی می‌کنید که بگذارید وقتی رسیدیم به هندسه.

بگذارید این طور شروع کنم. ما به هزار و یک دلیل به صفرهای یک خانواده از چند‌جمله ای‌ها روی ℝ علاقه داریم. سهمی‌ می‌کشیم، هذلولی می‌کشیم، درجه این‌ها را زیاد می‌کنیم و این‌ خم‌ها و رویه‌ها موجودات مورد علاقه‌ی ما هستند. شما می‌توانید نمودار آن‌ها را بکشید و ببینید که چه شکلی دارند. مثلا درکی نسبت به تیزی یک گوشه‌‌‌ای پیدا کنید. تیزی به این معنا که مثلا نشود یک خط مماسی به نمودار کشید در آن نقطه یا چند خط مماس موجود باشد. اگر بخواهم یک نمونه مثال زده باشم روی  R2، مثلا  x2-y2 را در نظر بگیرید. صفرها می‌شوند خط نیمساز ربع اول سوم و چهارم دوم. و این‌ها روی صفر با هم در مبدا برخورد می‌کنند. آ‌ن‌جا ما یک چهار شاخه‌ای داریم که این بنده خدا هیچ معنی مماس درست درمانی در آن نیست. شاید این را یک درجه زیادتر می‌کردم که دو تا سهمی‌ به هم می‌خوردند، که یک خمیدگی‌ای هم داشت حتی بهتر بود، چون این‌جا مماس‌ها خود خط‌ها هستند و یک کم گیج می‌شود آدم. به هر حال در آن نقطه دو تا خط به هم می‌خورند و دو مماس موجود است. کل حرفم این است که می‌شود نمودار را کشید و رفتار هندسی را دید. حالا تصور کنید که صفرهای چندجمله‌ای را بخواهیم در یک میدان متناهی پیدا کنیم. صفرها را روی میدان مثلاً p عضوی در نظر می‌گیریم، یا  pn عضوی در نظر بگیریم و غیره. حالا این دیگر واقعاً گسسته است. برای این‌ که در میدان متناهی تعداد صفرها هم متناهی است. انگار من یک مشت، 12 تا نقطه مثلا، پاشیده باشم روی صفحه. خب من هندسه را نمی‌بینم این‌جا. آن نظمی‌ را که روی اعداد حقیقی می‌بینم، این‌جا نمی‌بینم. درست است؟ از شما یک سوال می‌پرسم. به من بگویید چطور انتقال نگاه هندسی به این دنیای گسسته چیزهای مهمی‌ درباره‌ی همین چند تا نقطه‌ی متناهی به ما یاد می‌دهد. خودم می‌توانم فضولی کنم و یک چیزهایی بگویم. ولی اول بگذارید از شما بپرسم که چطور ماشین عظیم هندسه‌ می‌آید ما را این‌جا نجات می‌دهد و اصلا هندسه این‌ جا چطور در جریان است. این پدیده‌ی شگفت انگیزی است که روی چند تا نقطه روی یک صفحه هندسه‌ای داریم. این هندسه چه طوری در جریان است که ما آن را نمی‌بینیم؟ چه طوری ماشین هندسه را از پیوسته بیاوریم این‌جا؟ خب این نظریه اعداد است به وضوح و شاید چنین چیزی جایش در ترکیبات نباشد. ولی مثال بدی هم نیست از انتقال عظیم ماشینی از پیوسته به گسسته. اگر به نظرتان حرف حساب می‌زنم، بیایید این را باز کنید که چطور هندسه را، هندسه‌ی جبری را مخصوصا، منتقل می‌کنیم به گسسته. فکر می‌کنم جذاب باشد شنیدن این.

امیرحسین اکبرطباطبایی: درباره‌ی مورفیسم و حد- چند تا از این موضوعات را می‌خواهم این‌جا جمع کنم به‌ جز آن اشکال فلسفی. اجازه دهید نکاتی بگویم. درباره‌ی مورفیسم و دگردیسی حرف می‌زنیم و یک مثال خوشمزه می‌زنید درباره‌ی این‌ که دیفورمیشن گراف چه می‌تواند باشد. اول  از یک تغییر کوچک شروع می‌کنید و آن این است که مثلا یک یال در گراف را کلپس کنیم یا مثلا یک یال اضافه کنیم، یک راس اضافه کنیم و از این دست. و احتمالا تغییر یک گراف دنباله‌ای از این تغییرات کوچک است. در واقع انگار جواب من را این‌ جور بدهید که مورفیسم برای صورت‌بندی این تغییرات است که مهم است. تو مگر نمی‌خواهی تغییر ایجاد کنی. هر وقت که بخواهی تغییر ایجاد کنی در ساختار مورد نظرت، نیاز به مورفیسم داری. اگر مورفیسم نداشته باشی، جهان دیسکریت می‌شود. اشیاء همین طور لخت و عور می‌افتند این طرف و آن طرف. به هم ربطی ندارند. تغییری نیست در جهان. وقتی تغییری نیست، فهم هر کدام از این اشیا بر گرده‌ی خودش است و این هم دلیل این‌ که مورفیسم این‌قدر مهم شده. مثلا فرض کنید من یک گروه به شما بدهم و قرار باشد که مورفیسم‌های گروه به جاهای دیگر یا از جاهای دیگر به این گروه را در نظر نگیریم. خب من چه‌ طوری این گروه را بفهمم؟ من باید یا خودش را بگیرم یا اعضایش را بردارم ببینم چه می‌فهمم. خب البته ما می‌رویم زیرگروه‌های این گروه را هم می‌گیریم، خارج‌قسمت‌های آن را هم می‌گیریم و از این دست کارها. اما این‌ها یعنی دارم این گروه را تغییر می‌دهم. ساختارهایش را کلپس می‌کنم. یک ساختارش را فراموش می‌کنم. این‌ها دیفورمیشن‌های کوچک و بزرگی است که من بالاخره نیاز دارم برای فهم گروه اما دارم آن‌ها را از داخل گروه کنترل می‌کنم و کاری به بیرون گروه ندارم. مساله این است که همیشه این طور نیست که هر شی ریاضی را شما بتوانید از داخل آن آمار همه چیزش را در بیاورید. اینترکشن آن با بقیه مهم است. این رفتار اجتماعی شی است که مهم است. رفتار اجتماعی شی را چه‌ طوری بدون مورفیسم می‌خواهید بفهمید؟ همه‌ی رفتار اجتماعی شی در داخل آن که کد نمی‌شود و اگر هم بشود لزوما طبیعی نیست کار کردن با آن. این از اهمیت مورفیسم.

بعد شما این‌جا یک چیزی می‌گویید که خیلی خوشمزه‌است. وقتی شما مورف دارید، ساده‌تر بگویم، وقتی شما مفهوم تغییر را دارید، طبیعتا تغییر بین تغییرها را هم دارید و این یعنی سر‌و‌کله‌ی هموتوپی مثل هر جایی که تغییراتی در همه‌ی لِوِل ها داریم پیدا می‌شود. خب یکی می‌گوید آقا هموتوپی اصلا پیدا بشود. هموتوپی به چه دردی می‌خورد؟ مگر مسخره‌بازی است که ما هر چیزی را که دیدیم استفاده بکنیم؟ خب آن یک بحث دیگر‌است. اجازه دهید قصه‌ی هموتوپی را جدا کنم و به آن برگردم. مطمئن هم نیستم که این‌جا چه‌قدر پر فایده‌است، ولی حرف بدی نیست. حالا اگر بخواهم بمانم در همین قصه‌ی مورف‌ها یکی از فوائد داشتن مورف بحث حد است. حالا این‌ جا شما از نمایش‌پذیر‌ها حرف می‌زنید که کمی فنی است. من با بیانی ساده‌تر بگویم. آن این است که شما یک سری آبجکت دارید که به نظر می‌آید که تقریب‌های یک چیزی هستند. اما آن چیز بزرگتر در دسترس شما نیست. شما فقط تقریب‌هایش را دارید. برای این‌ که مساله را نزدیک کنم به ذهن شما می‌توانید فکر کنید به یک گروه نامتناهی. زیرگروه‌های متناهیا تولید شده‌اش یا اصلا زیرگروه‌های متناهیش را در نظر بگیرید. این‌ها به یک معنی دسترس‌پذیر هستند. اما خود گروه نامتناهی از دسترس بیرون است. یک نمونه دیگر می‌توانید به اعداد گویا فکر کنید که دسترس‌پذیرند. حالا این‌ها گاهی میل می‌کنند به یک سمتی و مدام نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند به یک چیزی که مثلا رادیکال دو است و از دایره‌ی دسترس بیرون است. بعد شما می‌خواهی چه‌کار کنی؟ کاری که می‌توانی بکنی این است که جهانت را بزرگتر کنی تا این اشیا را هم اضافه کنی. حالا من می‌خواهم کمی‌ شیطنت کنم و کار بزرگتری را بر عهده بگیرم. خود پروآبجکت و ایندآبجکت را موتیویت کنم به جای حد. بگویم که مثلا می‌خواهم جواب این سوال را بدهم که دکتر رستگار حرف‌هایی که می‌زند و می‌گوید که پروآبجکت چه می‌شود یعنی چه؟ چرا نمی‌گوید لیمیت چه می‌شود؟ چرا نمی‌گوید کولیمیت چه می‌شود؟ نمی‌گوید حد؟ این‌ها چه می‌شود؟ آقا شما چه‌ کار به پروآبجکت داری؟ هر حدی نمی‌شود و حتما باید پرو باشد؟ این چرا مهم است؟ که من الان توضیح می‌دهم. اصلا موتیویشن جدی این‌جاست. عرض به حضورتان که برگردید به اعداد گویا. فرض کنید که ما در اعداد گویا زندگی می‌کنیم. گفتم گاهی این‌ها میل می‌کنند به یک جا که آن یک جا مثلا رادیکال دو است که گویا نیست. اگر زرنگ باشید شما می‌توانید مچ من را بگیرید. بگویید که صبر کنید ببینم، اگر رادیکال دو در دنیای تو نیست خب پس این‌ها در واقع به جایی میل نمی‌کنند. تو از کجا می‌فهمی‌ که این‌ها دارند میل می‌کنند به یک جایی؟ صرف این‌ که بفهمید که دارد میل می‌کند به چیزی آن بیرون یعنی به آن بیرون دسترسی دارید. یک چیزی میل می‌کند به یک جایی آن بیرون، من چه‌طوری می‌فهمم؟ این‌جوری می‌فهمم که رفتارش رفتار کسی است که دارد میل می‌کند. از همین داخل می‌فهمم و با آن بیرون کار ندارم. این‌طوری است که از یک جایی به بعد می‌فهمم که این فاصله‌اش با خودش هی دارد کوچک و کوچک‌تر می‌شود. شرط کوشی دارد. من ذهنم بر این است که چرا این‌قدر دارند زیادی جمع می‌شوند یک جایی. حالا آن جا را من نمی‌بینم چون در دنیای من نیست. ولی می‌بینم این‌ها خیلی دارند به یک سمتی حرکت می‌کنند. دور هم جمع می‌شوند. مشکوک است قضیه. انگار یک سوراخی چیزی بوده باشد آن جا که ما نمی‌بینیم. در توان فهم ما نیست. حالا بیایید سراغ گراف. وقتی ما مورفیسم داریم یعنی داریم تغییر می‌کنیم. این گراف‌ها تغییر می‌کنند. هی تغییر می‌کنند. تغییر می‌کنند به سمتی که نتیجه‌‌اش در دنیای ما نیست. چه‌طوری بفهمم به یک سمتی که موجود نیست دارند تغییر می‌کنند؟ این‌طوری که اگر مثلا در دو جهت مختلف در تغییراتم حرکت کنم، نتایج آن دو تغییر را می‌توانم در آخر جمع کنم روی یک چیز بزرگتر که خودش حاصل تغییر از شی اولیه است. این نشان می‌دهد که این طور نیست که این‌ها دارند دل‌بخواهی در مسیرهای مختلف تغییر می‌کنند. این یعنی این‌ها همه تقریب‌های ما از یک چیزی هستند. این شیء باید آن‌جا باشد اما غایب است. من باید بروم آن شی را پیدا کنم. درباره‌اش حرف بزنم. حقیقتی آن‌جا هست که ما آن را نمی‌بینیم. آن شی پروآبجکت است. یک جا می‌گوییم که این پروآبجکت توپولوژی دارد. توپولوژی خیلی مهم نیست و تنها به من من کمک می‌کند که آن شی بیرون از دسترس را نمایش بدهم به زبان آدم. این اهمیت پروآبجکت بود. شما گروه گالوا را مثال میزنید. گروه گالوای نامتناهی این طور حاصل می‌شود که همه‌ی گروه‌های گالوای زیرتوسیع‌های متناهی‌ به یک سمتی دارند حرکت می‌کنند. حالا شما فرض کن نامتناهی نداری، ولی داری می‌بینی این‌ها همه به یک طرفی دارند حرکت می‌کنند، جمع می‌شوند دور هم به یک سمتی. خب آدم عاقل می‌رود اول آن سمت را پیدا می‌کند و می‌آورد مطالعه می‌کند.

حالا این همه حرف پشت سر ترکیبات‌دان می‌زنیم، من گفتم این بنده‌ی خدا شاید واقعا پروفاینایت گراف‌ها را مطالعه کرده باشد. رفتم دیدم که بله کرده و اتفاقا داریم این‌ها را. درباره‌اش خیلی هم کار کرده‌اند. ولی درباره‌ی ارتباطش با عمل گروه و این‌ها کار می‌کنند. ترکیبات محض نیست. بنابراین اگر چه هست، یک کوچک هم حرف زده شده راجع‌ به آن، ولی به عنوان کاری ترکیباتی نمی‌شود در نظرش گرفت. برای این‌ که حرفمان عادلانه‌ باشد باید بگوییم که دست‌کم در کیس گراف مورف را دارند. ولی آن طوری فکر نمی‌کنند در مورد مطلب. مشکل این است. مشکل این نیست که این‌ها مورف را تعریف نکرده‌اند. گاهی هم مفاهیم را تعریف کرده‌اند، اما نه آن‌طوری که در مثلا جبر ما با مورف کار می‌کنیم، بعد با پروآبجکت کار می‌کنیم و این‌ها. این‌ها آن‌طوری نگاه نمی‌کنند. حالا یک ذره مورف و این‌ها دارند، ولی اساسا دیسکریت نگاه می‌کنند، به این معنی که شبکه‌ی اشیای ریاضی‌شان به هم وصل نیست.

در مورد واندرواردن هم می‌خواهم بگویم که اگرچه که این هیجان‌انگیز است اما به درد کار من نمی‌خورد. خیلی فنی است و از ستون‌ها نیست. خیلی اتفاقی است. مگر بشود نشان داد که اهمیت بالقوه‌ی ذاتی‌ای در مبانی دارد که از این آدم درباره نقشه‌ی ریاضیات چیزی یاد بگیرد. در غیر این صورت مجبورم که این را هم وتو کنم. این حرف ما را تمام می‌کند.

آرش رستگار: صورت پیوسته‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها به مثابه‌ی جزئی از علم ترکیبیات کجاست؟- شما که همه حرف‌های انتقادی را زدی. من نمی‌دانم دیگر. اول گفتم خب بروم بخوابم. گفتم نمی‌شود که همیشه خوابید. بروم لم بدهم، دیگر کاری ندارم. بعد گفتم بازنشست بشوم. خلاصه همه مسئولیت‌های سخت انتقاد از جامعه‌ی ریاضی را شما به عهده گرفتید. من فکر کنم بروم یک چلوکباب بخورم، آن جاستیفاید تر است. من باز هم در مورد اعداد و فلسفه‌شان یک فکرهایی دارم. این‌ها را یک مروری می‌کنم. داشتم راجع به این استعاره‌هایی که توی حساب پایه هست. فکر می‌کردم که یک استعاره این است که عدد همان گردایه است. یک استعاره بعدی این است که عدد همان ساختمان است، که بعداً منجر می‌شود به ساختار بودن عدد. یک استعاره دیگر است می‌گوید که عدد حاصل اندازه‌گیری است که به آن می‌گویند استعاره خط‌کش. یک استعاره دیگر است که لیکاف و نونیس به آن توجه نکرده‌اند. آن کار خیام است که می‌گوید عدد نسبت است. یک استعاره دیگر هم هست که می‌گوید که عدد حرکت روی یک بازه است. البته این متعلق به خیام است که البته در غرب می‌گویند متعلق به بمبلی است، نیمه دوم قرن شانزدهم. ولی در اثبات خیام از حل معادلات درجه سوم وجود دارد. حتی فکر کنم در تمدن هند هم در کارهای آریاباهاتا وجود داشته باشد. می‌شود قرن چهارم میلادی به گمانم. این استعاره‌ها به ما آمیزه‌های استعاره‌ای را می‌دهد. یعنی این‌که عدد هم گردایه است به معنای استعاره‌ای، هم ساختار، هم اندازه‌ی یک پاره خط، پس هم ناورداست، هم نسبت، هم حرکت می‌کند. به چه چیزهایی در ریاضیات عالی اشاره می‌کند؟ یکی آمیزه ساختار-حرکت است. یک آمیزه استعاری هست که به دگردیسی ساختارهای ریاضی اشاره می‌کند. یک آمیزه، گردایه-حرکت است، این به حرکت پیوسته مجموعه‌ها اشاره دارد. که در نظرم به نظریه مجموعه‌ها اصلاً وارد نشده به زعم من. این یعنی چه؟ یعنی بازه‌های بسته زیر مجموعه هم می‌توانند پیوسته حرکت کنند. چرا مجموعه‌ها نمی‌توانند پیوسته حرکت کنند؟ این اشکال دارد. مفهوم مجموعه ما بر بنیادهای گسسته بنیان‌گذاری شده. برای همین نظریه مجموعه‌ها ترکیبیاتی است. گردایه باید بتواند پیوسته حرکت کند. چون ما نباید گردایه از اشیاء را در نظر بگیریم. می‌توانیم گردایه از نقاط هندسی را در نظر بگیریم. گردایه‌ای از آبجکت‌هایی که دارند دیفورم می‌شوند را درنظر بگیریم. این می‌شود آمیزه‌ی گردایه-حرکت. آمیزه‌ی گردایه-ساختار می‌گوید: هر ساختار هم یک گردایه است که ما فراتر از این رفتیم. وقتی نظریه‌ی رسته‌ها را ساختیم، فراتر از نظریه‌ی مجموعه‌ها رفتیم. یک آمیزه داریم که آمیزه سه تاییست. یکی آمیزه‌ی ساختار-نسبت. گردایه-نسبت که این‌ها می‌گویند که، ببخشید هنوز به سه تایی نرسیدم، آمیزه‌ی ساختار-نسبت. گردایه-نسبت می‌گوید همان‌طور که عدد نسبت دو تا چیز است، ساختارها هم باید نسبی مطالعه بشوند. مجموعه‌ها هم باید نسبی مطالعه بشوند. این‌را نمی‌دانم احتمالاً وارد نظریه‌ی مجموعه‌ها شده باشد. یعنی شما یک دانه مجموعه را نباید مطالعه کنید. نگاشت بین مجموعه‌ها را باید مطالعه کنید. خب این می‌شود همان فلسفه‌ی گروتندیک. آمیزه‌ی حرکت-ساختار که می‌گفت دگردیسی ساختار ریاضی مطالعه می‌کنیم. آمیزه‌ی حرکت-نسبت-ساختار می‌گوید حتی ساختارهای نسبی‌مان را هم ما باید دیفورم کنیم. این‌ها در کارهای لیکاف و نونیس نیستند. این‌ها ایده‌های خودم هستند. پس می‌گوید ساختارهای نسبی را هم ما باید دیفورم کنیم. یعنی نه فقط مجموعه‌ها باید پیوسته بتوانند تغییر کنند، بلکه نگاشت بین مجموعه‌ها هم باید پیوسته تغییر کنند. نگاشت بین ساختارها هم پیوسته تغییر کنند. مانند این می‌شد نکات دیگری در مورد فلسفه‌ی عدد گفت، که راجع به این‌که چرا نظریه مجموعه‌ها ترکیبیات است، و ورژن پیوسته‌اش چه می‌شود حرف خواهم زد.

آرش رستگار: تجلی هندسه در دنیای متناهی- خیلی کوتاه من اگر بتوانم بگویم هندسه‌ی جبری روی میدان متناهی یعنی چه. یک قدم که راه بروم، یکی که باسواد باشد مثل شما، می‌گوید که عه، تو فقط همین را فهمیدی؟ این چه بود که گفتی؟ ولی حالا طوری نیست که من از بی‌سوادی اصلاً نمی‌ترسم. این فقط چیزی جز نمایش حقیقت نیست. ولی اتفاقاً هندسه‌ی جبری روی میدان متناهی یکی از آن مثال‌هایی است که لیمیت است، چون روی Fp که کفایت نمی‌کند، شما باید بروی روی بستار Fp. یعنی می‌گوییم همه پدیده‌های هندسی آنالوگ به پیمانه p دارند. یعنی این‌که روی بستار Fp آنالوگ پیدا می‌کنند. نمونه‌اش هم که بدیهی است. اینترسکشن تئوری است. خب ما اینترسکشن تئوری را روی بستار Fp داریم. اگر روی Fp یا Fpn هرجا بگیریم، آن اشتراک‌هایمان که ممکن است اَپیِر نشوند، ولی خب همیشه بالاخره یک کوافیشنت‌هایی داریم روی یک میدان به اندازه‌ی کافی بزرگی. آن واریته‌های متناهی خاص، آن‌ها اشتراک‌هایشان را میدان بزرگی که به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد، نسبت به آن مساله‌ی خاص، کارمان را راه می‌اندازد، ولی خب اگر بخواهید پدیده را برای همه واریته‌ها ببینید مثلا.

امیرحسین اکبرطباطبایی: نگاه هندسی به شی گسسته- این می‌شود در واکنش به تجلی هندسه در دنیای متناهی. شما به درستی می‌گویید که وقتی یک میدان متناهی بگیرید، این جواب نمی‌دهد و فول فورس هندسه را این‌جا نمی‌شود دید. به خاطر این‌ که ریشه‌های همه‌ی معادله‌ها موجود نیست و بستار جبری ندارید. یک عالم چیز هست که ما به ازاء ندارد که بد می‌شود. حرف بسیار درستی است. بعد انسان می‌رود در بستار جبری، برای این‌ که این اتفاقات نیفتد. کما این که شما روی ℝ هم کمی‌ کج و کوله می‌زنید به اصطلاح شما. مخصوصا مثال اینترسکشن خیلی عالی است. شما باید بروید روی ℂ اگر می‌خواهید هندسه درست کنید. آن‌جا که درست همه چیز اندازه باشد، کم نیاید نقطه. این‌جا مساوی‌ها می‌شود نامساوی، تقارن‌ها به هم می‌ریزد، کار بد می‌شود، که حرف درستی است. حالا من یک چیز دیگر مد نظرم بود. من حرفم این است که بالاخره من این‌جا دعوایم سر متناهی است، پدیده‌ای که واقعا متناهی است در ذاتش. ما نمی‌بینیم ظاهر هندسه‌ایش را. حالا من نمی‌گویم همه‌ی هندسه این جا تجلی می‌کند که نمی‌کند. می‌گویم این جا در بین مثلا این دوازده تا نقطه که من پاشیده‌ام روی صفحه، تو عمرا نمی‌بینی که این‌ها اَکت هندسی دارند. حالا من یک کم تخفیف بدهم، اجازه می‌دهم برویم در بستار جبری یا در توسیع متناهی بنشینیم، حالا مثلا برویم روی Fp(x) و Fq(x). بعد آن‌جا شما قشنگ دستتان باز می‌شود که آنالوژی را بیاورید و یک عالم چیز خوب به ما یاد بدهید. حالا انشاءالله این بماند وقتی که می‌خواهیم در مورد هندسه حرف بزنیم که هندسه چه کارها که برای ما نمی‌کند. ولی این‌جا من هدفم این بود که یک مثال جیبی پیدا کنم از یک جانوری گسسته که در آن هندسه پنهان شده. حالا قبول دارم آن زیادی سخت است. خودم هم الان چیزی ندارم در ذهنم. ولی خب چیزهای خوبی می‌شود این‌جا دید. مثلا اسپکتروم ℤ هست. درست است که متناهی نیست، ولی خب یک سری نقطه‌ی از هم جداست. در واقع اعداد اول را چیده‌ایم پشت سر هم به اضافه‌ی صفر که یک جور نقطه‌ی حدی شماست. من همین‌طوری این را به شما بدهم، این ظاهرا فقط سری اعداد اول است. گسسته است و فاقد معنای هندسی. اما بعد من ادعا می‌کنم این را این‌طوری نگاه نکن. این‌جا یک سری اتفاقات هندسی می‌افتد. به این خاطر آن را نمی‌بینی که چشمت گسسته می‌بیند. این‌ها را با توپولوژی معمولش درک می‌کنی که نشسته‌اند در فاصله از هم در خط اعداد حقیقی. نمی‌بینی آن چیزهایی را که باید ببینی. به‌خاطر این‌که خب آدم عاقل به فضا به عنوان فضایی هاسدورف فکر می‌کند، نه غیر هاسدورف. خب حالا بگذارید من سؤالم را تخفیف بدهم. حالا اگر متناهی پیدا کردید، خب فبه المراد. اگر پیدا نکردید، بیایید برای ما یک مثال بزنید، یک چیزی را که انسان در اسپکتروم ℤ، که گسسته تا نقطه‌اند، می‌تواند ببیند اگر لنز هندسه را گذاشته باشد، یعنی از هندسه‌ی روی اعداد مختلط بلند کرده باشد آورده باشد این‌جا. تصور می‌کنم که حالا هزار تا مثال می‌شود زد. یک مثال خوشمزه و تپلی بزنید. چه می‌دانم مثلا توپولوژی. مثال خیلی ضعیفش این است که یک توپولوژی این‌جا هست. بنابراین یک چسبی این‌جا زندگی می‌کند که همان توپولوژی زاریسکی است. شما آن را نمی‌بینید. اگر لنزتان را عوض نکنید بروید لنز هندسی به فرض، نمی‌بینید. خب حالا این‌ها ضعیف است. این پایین مایین‌ها میپلکد. یک‌ کم می‌توانید بهترش کنید، لوکالیزیشن را بیاورید. ببینید من وقتی تقسیم می‌کنم، به چیزی که مضرب پی ندارد، دارم چه کار می‌کنم. دارم عدد صحیح را تعبیر می‌کنم به یک تابع روی اعداد اول و اگر آن عدد مضرب پی نباشد یعنی در نقطه‌ی پی صفر نیست. حالا وقتی تقسیم می‌کنم بر اعدادی فاقد مضرب پی، انگار دارم با توابع گویایی کار می‌کنم که در نقطه‌ی پی تعریف شده‌اند. این‌ها خوشمزه‌ترش می‌کند، ولی یک هوا تپل‌تر از این ببینید می‌توانید مثال بزنید؟ یک مثال عامه‌فهم‌ بزنید که ببینید چه‌قدر خوشگل شد، ولی شما نمی‌فهمیدید وقتی هندسی نگاه نمی‌کردید. گاهی هندسه به گسسته، یک روحی عطا می‌کند که قبلاً ندارد. حالا ببینید از این‌ها پیدا می‌کنید که یک هوا عمیق‌تر از این بحثی که من درباره‌ی زاریسکی و این‌ها کردم باشد. به عنوان نظریه اعداد‌دان در دست و بالتان چیز خوب پیدا می‌کنید؟ اسپکتروم ℤ که دیگر رفیق فاب شماست! این هم از سفارش جدید هندسه. من می‌خواهم کمی‌ بیایم پایین اما حرف جالب هم داشته باشم. یک کم خواسته‌ی سختی است. حالا به هر حال این هم شد شماره‌ی پنجاه و نه.

آرش رستگار: هندسه‌ی پنهان در موجودات متناهی یا گسسته- این در مورد هندسه پنهان در اشیاء متناهی یا حالا با تخفیف گسسته. مثالی که زدید اسپک ℤ چه هندسه‌ای در خودش پنهان دارد، خب اولین چیزی که به ذهن ما می‌آید، نظریه آراکلوف هست، ولی پرسپکتیو نظریه آراکلوف را ما از هندسه گرفتیم. آمدیم این‌جا پیاده کردیم. اگر بخواهم بگویم که این‌جا ساختاری باشد که بعد ما با هندسه بهتر بفهمیم آن را، آره همین آنالوژی اعداد اول و گراف‌هاست که ما دوگانی آرتین-وردیر را داریم که روی اتال کوهمولوژی اسپک اوکی‌ها هست. می‌بینیم یک پوانکاره دوالیتی بعد سه دارد. بعد می‌بینیم این‌ها پس باید شبیه گره‌ها باشند. بعد یک دنیای بزرگی از این اطلاعات را پیدا می‌کنیم، از جمله این که می‌فهمیم که نماد لژاندر، آنالوگ لینکینگ نامبر گره‌هاست. اصلا کتابهای زیادی این‌جا نوشته شده. حالا نماد لژاندری که قانون تقابل مربعی‌ ما راجع به آن نوشته شده. شما خودتان ببینید که این چه عظمتی است وقتی بخواهد این آنالوگ یک کانسپتی در گره‌ها باشد. ولی شما می‌گفتید که ما مثلا متناهی تا نقطه را بپاشیم توی صفحه. به نظر من آن باز آبجکت متناهی نیست. چرا؟ یک عالم ساختار هندسه در آن دارد. مثلا من، این مثال را، داشتیم توی پارک با محمد راه می‌رفتیم، فکر می‌کردم هم‌زمان که پارک قیطریه درخت‌هایی در محوطه‌اش بود، ما نگاه که می‌کردیم، شکل و قیافه درخت‌ها با هم فرق داشت. کلفتی‌شان، رنگشان، زاویه‌‌هایشان، شکلشان باهم فرق داشت. ما به این فکر کردیم که خب این‌ها که از پشت هم رد می‌شوند، مکان نسبی‌شان نسبت به چشم ما عوض می‌شود. این یک عالم داده است. ما ده قدم راه برویم و به این درخت‌ها نگاه کنیم، این داده‌ها را رکورد کنیم، بعد بگوییم که شما آن ساختار هندسی جا گرفتن درخت‌ها را بازسازی کنید، کلی اطلاعات به ما می‌دهد. چیزهای دیگر‌ی هم می‌شود گفت. مثلا شما متناهی تا نقطه داشته باشید، یک عالم مسائل که در ترکیبیات هندسی مطرح می‌شود آن‌جا وارد می‌شود. مثلا در آنالیز هم همین طور. ففرمن با همکارانش سه تا مقاله سری هم دارد که متناهی تا نقطه در فضای Rn می‌آیند، اصلاً به طور کنونیک یک تابع نسبت می‌دهند که مثلا جواب یک معادله دیفرانسیل خاصی باشد، یا جواب یکتای یک دیفورمیشن پرابلمی ‌باشد که وریشن آن پرابلم باشد. از این چیزها خیلی زیاد داریم. وقتی چند تا نقطه در صفحه باشند، ساختار آن صفحه یک عالم چیز هندسی به شما می‌دهد که به نظرم خیلی‌هایش هم در ترکیبیات هندسی وارد شده باشد. مثلاً شما کاشی کاری ورونویی را داری که مثلاً راجع به کاشی کاری ورونویی بعدهای بینهایت یک چیزی به نظرم رسید: تز دکترای کسری علیشاهی. ولی من فکر می‌کنم این تعداد متناهی نقطه در صفحه که آبجکت متناهی نیست. آبجکت متناهی چه می‌شود؟ آبجکت متناهی مثلا بگوییم یک گراف است یا چیزی شبیه به آن. بگویید هندسه‌اش چیست؟ من قبلاً راجع به موتیو وابسته به گراف یا L-تابع یک گراف و این‌ها صحبت‌هایی کردم. حتماً منظور شما این نبوده. پس آبجکت هندسی متناهی اگر احجام افلاطونی را مثلا، یا مجموعه‌های محدب را بگویم، آن‌ها هم که توی فضاست. اگر بگویم یک بلاک دیزاین مثلاً آبجکت هندسی متناهی کنارش است، خب شما به یک نوعی گروه اتومورفیسم‌هایش که یک گروه متناهی است، که لزوماً جابه‌جایی نیست. من راجع به این‌که یک گروه ناجابجایی، چرا یک آبجکت هندسی است و نه یک آبجکت جبری صحبت کردم. و این‌که موجودات ناجابه‌جایی را باید دیفورم کرد و مطالعه کرد. گروه‌های ناجابه‌جایی هم شما می‌توانید ترجمه‌اش کنید به زبان توابع. مثلاً به زبان کوانتوم گروپ و این‌ها. بعد آن‌جا دیفورمشان کنید. بنابراین این‌ها هم باز چیزهای تعریف شده‌ای هستند. فکر نمی‌کنم این‌ها منظور شما باشد از آبجکت هندسی متناهی. اگر من بگویم یک فضای متریک متناهی هست، شما باز هم می‌توانید امبدش کنید توی یک Rn ای. باز همان حرف‌هایی که در Rn امبد کردید را بزنید. یا بیایید مثل یک گراف در نظرش بگیرید. یونیورسال کاورش را در نظر بگیرید. یونیورسال کاورش یک فضای متریکی می‌شود که آن‌هم کلی مطالعه شده. باز هم فکر نمی‌کنم این آن چیزی باشد که منظور شماست. هرچه، مثلا یک فضای توپولوژی متناهی هم به نظرم دیگر این بی‌مزه می‌شود. دیگر آن چیزی که شایسته مطالعه باشد، و شما هندسه‌ی کنارش را بخواهید در بیاورید نمی‌شود. بنابراین نمی‌دانم که این مثال‌هایی هم که زدم، می‌دانم که خواسته شما را برآورده نمی‌کند، ولی یک موجود متناهی که کلی هندسه پشتش باشد و ما توی آن دنیای متناهی آن هندسه را نبینیم، بیرون از این مثال‌ها که گفتم، فعلاً که تخیلم کار نمی‌کند. ولی خب یک چیز دیگر هم که قبلاً گفتم هم تکرار می‌کنم دیگر. متناهی تا نقطه در صفحه خودش یک شکل است. ما باید بتوانیم به عنوان یک عدد با آن برخورد کنیم. آن حساب ذاتی هم که در درک در یک نگاه سریع در آن هست، آن‌هم این موجود را در خودش دارد. بنابراین باید ببینیم. نمی‌دانم بهتر از این من چه می‌توانم خدمت شما بگویم.

امیرحسین اکبرطباطبایی: در واکنش به هندسه و گسستگی- این در واکنش به هندسه و ارتباطش با گسسته است. عرضم به حضورتان، این مثال‌ها که می‌زنید بعضی‌هایشان خیلی خوب است. بعضی‌هایشان کمتر خوب است. ولی همه‌شان ویژگی مشترکی دارند. آن این است که این‌ها زیادی advanced هستند. نمی‌شود آوردش پایین. یعنی من فکر کردم به این مثال‌هایی که آوردید، جز آن مثالی که در مورد درختان می‌زنید در پارک که خیلی عجیب است که این حجم داده را اگر جایی ذخیره کنیم و بعد سعی کنیم که درکش کنیم. من این را این‌طوری تعبیر می‌کنم که این حجم از داده را اگر شما یک جا بنویسید، به عنوان داده‌های عددی، هیچ نظمی‌ در آن دیده نمی‌شود. مگر این‌که شما بلد باشید این را هندسی ببینید. شوخی عالم این است که از طنز روزگار، من مقدمه‌ی کوچکی، یک چند صفحه نوشتم آن موقع که می‌خواستم درس ریاضیات ساختارگرایانه به زعم گروتندیک را شروع کنم. بعد برای این‌ که برای عام توضیح بدهیم ما این‌جا چه کار می‌کنیم، چه فیلی هوا می‌کنیم، مثالی می‌زنم. مثلا فرض کنید یک شی سه بعدی را جایی آویزان کرده‌اید. از جهات مختلف به آن نور می‌تابانید. از سه طرف دیتا را ریسیو می‌کنید. دیتا را می‌نویسید. خب‌ این دیتا خیلی چیزها را به شما یاد می‌دهد. آن جا مثال می‌زنم که چه چیزهایی می‌تواند به شما یاد بدهد. ولی این داده هیچ وقت نمی‌شود آن تصویر واقعی. صرفا به این دلیل که در آن دیتاهای نامربوطی هست. اشتباه می‌شود فهمید. حالا به هر حال جز این یک مثال شما که مردم می‌توانند بفهمند، من فکر می‌کنم بقیه دیگر زیادی سخت هستند. هیجان انگیز‌ترینشان به نظرم آن که بشود برای انسان دو پا توضیح داد، ارتباط نماد لژاندر با آن لینکینگ نامبر گره‌هاست، که آن‌ را هم من نمی‌دانم چه‌طوری می‌شود باز کرد؟ بدون دسترسی مثلا به اتال کوهمولوژی و این‌ها، تعریف درست حسابی ازش داد، یک حسی ازش داد. حالا اگر هم بشود هم خیلی یاد نمی‌دهد که ورود فکر پیوسته به گسسته چه‌ها به ما یاد می‌دهد. باید خیلی عمیق بشویم در آن تا چیزی یاد بگیریم. من امیدم این بود که شما یک چیزهایی ساده، نه خیلی عمیق و این‌ها، که نمی‌توانستیم قبلاً ببینیم به ما یاد می‌دادید. حالا یک مثال دیگر هم می‌زنید. می‌گویید که گروه و این‌ها هست که باید در مورد آنها هم در هندسه حرف بزنیم. که گروه را که ناجابه‌جایی است، مثلا باید شی هندسی دید. احتمالا برعکس گروه آبلی که شی‌ای جبری است. این به نظرم حرف عمیقی در آن هست. اصلا یک جا دعوا برمی‌گردد به مقایسه‌ی هموتوپی تایپ و استیبل هموتوپی تایپ در شکل بینهایت، ولی من عقلم نمی‌رسد راستش که چه بگویم که مخاطب عام استفاده بکند. این‌جا من امیدم این بود چیز ساده‌تری باشد، از این دست که آخر این هم کمی‌ مجرد است شاید. که مثلا شما اگر نظریه‌ی حلقه بخوانید، چرا حلقه‌ی موضعی باید مهم باشد. همین‌طوری فرض کنید سر کلاس هستید. کسی برای اولین بار به شما نظریه‌ی حلقه‌ها یاد می‌دهد. یادآوری می‌کنم حلقه‌ی موضعی حلقه‌ای است که تنها یک ایده‌آل ماکسیمال دارد. بعد استاد شما حلقه را موضعی‌سازی می‌کند. وقت می‌گذارد روی موضعی حرف زدن. خب نادانی مگر؟ چرا حلقه با یک ایده‌آل ماکسیمال باید مهم باشد؟ تا وقتی نگاه هندسی نداریم، که واقعا روتین تدریس این مطلب هم همین است، ما مطلب را نمی‌فهمیم. اصلا چون این نظریه را دولوپ نکردند قبل این‌ که ببینند یک ربط هندسی دارد. راستش خودم حالا همچنین فکری هم نکردم که ببینم چیزی به ذهنم می‌رسد یا نه. ولی امید داشتم چون این‌جا منطقه‌ی ثروتمندی است، خیلی غنی است، این ارتباط هندسه با اعداد و هم‌زمان با جبر، شاید بشود مثال خیلی خوبی پیدا کرد. حالا اگر هم پیدا نشود، اشکالی ندارد. بالاخره بعضی وقت‌ها سعی می‌کنیم موفق نمی‌شویم. این‌ها ایرادی ندارد. حالا من یک کم بعدا می‌آیم یک جمع بندی می‌کنم که تا الان از ترکیبیات چه چیزهایی بلدیم. آیا این کافی است، یا باید از این طرف و آن طرف سعی کنیم فشار بدهیم. یکی از این درهایی که ول کردیم را برویم باز کنیم. یک نکته‌ی دیگر هم درباره‌ی این استعاره‌های مختلف از اعداد است که شما معرفی می‌کنید. آن‌ها هم مهمند، ولی بحث فعلی ما نیستند. یکی از چیزهای دیگری که مهم است، این هموتوپی مربوط به گراف‌هاست که به آن می‌گویند هموتوپی گسسته. این هم چیز بامزه‌ای است، ولی باز مطمئن نیستم در مورد آن حرف زدن چه‌قدر خوب است. باید یک کم فکر کنم. چیزهایی که می‌گوییم، ارتباط به تابع زتا دارد. بعد باید بگوییم تابع زتا روی گراف چیست. نمی‌دانم باید بگذاریم یک وقتی که یک فصل در مورد زتا حرف بزنیم. چون این‌ها یک‌جورهایی ایده‌های مادر هستند، یعنی زتا همه جا سر و کله‌اش پیدا می‌شود، هموپوتی هم مداوما پیدا می‌شود. این‌ها چیزهایی نیست که وابسته به یک فیلد خاصی باشد، یا می‌شود یک دری انتخاب کنیم و از آن‌جا شروع کنیم. بالاخره از یک جا باید شروع کرد. نمی‌دانم باید یک کم فکرهایم را جمع کنم ببینم باید چه کار کنیم. حالا شما اگر باز به ذهنتان رسید مثالی شبیه این اهمیت موضعی بودن یک حلقه برایمان مثال بزنید. چیزهایی از این دست که یک کم عمیق هم هستند، فقط شروع یک نظریه نیستند. از این جور دیدن‌ها که ما در نظریه‌ی اعداد نمی‌دیدیم، ولی با هندسه‌ی حسابی شروع کردیم به دیدن. ولی با فرض این‌ که بشود این را منتقل کرد به مخاطب عام. حالا انشاءالله پیدا می‌کنیم چنین چیزی را.

آرش رستگار: هندسه‌ی پنهان- این‌ که من در موجودات متناهی یک مثال هندسه‌ی پنهان بزنم و خیلی هم پیشرفته نباشد، راستش این تمرین یک ذره سختی است برایم، که از ریاضیات پیشرفته استفاده نکنم، ولی خب باید بتوانم جواب بدهم. این مسئله‌ای نیست که احساس کنم از حد توانایی‌هایم فراتر است. بنابراین باز هم تلاش می‌کنم، ولی باز برای تمرین، یک مثال از هندسه‌ی پنهان می‌زنم. این دفعه پنهان در طبیعت که بگویم اصلا هندسه‌ی پنهان یعنی چه؟ این مثال از لئوناردو داوینچی است، نابغه بزرگ. عجیب این‌که این چرا چنین نابغه‌ای به ریاضیات کشیده نشده؟ این را هم که بگویم، شما می‌گویید چرا کشیده شده، نمی‌دانم. می‌گوید که درخت‌ها شاخه‌‌هایشان که تقسیم می‌شود، به نظر می‌آید در خیلی از درخت‌ها زاویه‌شان یک چیزی تو مایه‌های ۹۰ درجه است. این آبزرویشن را جناب لئوناردو داوینچی به اشتباه سعی کرده که ببیند. چرا؟ گفته که ببینید اولا که شاخه‌ها گرد هستند. دوما آوندهایی که توی شاخه‌ی اصلی است، وقتی دو‌شاخه می‌شود، این‌ها تقسیم می‌شوند. یک عده می‌روند این طرف و یک عده می‌روند آن طرف. بنابراین مساحت شاخه اصلی باید مجموع مساحت‌های شاخه‌های فرعی باشد. بنابراین مربع شعاعشان یا مربع قطرشان، مجموع آن مربعات قطر است. بنابراین قطرهای این‌ها در قضیه فیثاغورس صدق می‌کنند. بنابراین شاخه‌ها باید به این سمت گرایش داشته باشند که زاویه‌شان تقریباً ۹۰ درجه باشد. بعد خب بایولوژیست‌ها می‌روند در درخت‌های مختلف اندازه می‌گیرند، نمودار می‌کشند. بعد می‌گویند خب این شاخه‌ها اگر کمتر از ۹۰ درجه یا بیشتر از ۹۰ درجه است، دلیل بیولوژیکش چیست؟ آیا درخت ریزش دارد، شاخه‌ها شکسته‌‌اند؟ یا از این چیزهای عمیق‌تر از تخیل من. و این یک پدیده‌ای فقط در ریاضیات نیست، یا ریاضیات پنهان در طبیعت نیست، یا هندسه‌ی پنهان در طبیعت یا هندسه‌ی پنهان در ترکیبیات نیست. یک پدیده‌ای در مورد حقیقت شناخت انسان داریم که تو یک کلمه‌ای در نهج البلاغه این‌طور ازش یاد شده. می‌گوید حضرت علی که دفائن العقول، یعنی عقل ما در آن دفینه دارد. چیزهایی هست که عقلمان به آن می‌رسد، ولی زیر خاک است. باید زیر خاک را بکنیم که در بیاید. همچین پدیده‌ای در شناخت انسان وجود دارد. این طور نیست که هر چه می‌فهمیم، در عقلمان دم دست باشد. بعضی‌هایش هم در عقلمان هست، ولی پر زحمت و زیر‌خاکی و این‌ها. حالا آن گفته دفائن العقول، چرا زحمت را گفته دفن کردن. خب شغلش چاه حفر کردن بوده. سال‌های زیادی چاه آب حفر می‌کرده. با سختی‌اش همیشه مواجه بوده. یکی از سخت‌ترین شغل‌هاست دیگر. کشاورزی سخت‌ترین شغل است. از آن سخت‌تر کسی است که زمین را می‌کند. یعنی کسانی که مثلاً قنات درست می‌کنند، چاه می‌کنند. این‌ها شغلشان از کشاورزی هم سخت‌تر است. حالا یک نفر موقعی که نیاز دارد برای زمینش چاه می‌کند، بعد تمام می‌شود، می‌گوید چه‌قدر سخت بود. چه سال سختی بود، یا چه ماه سختی بود. یکی هست شغلش اصلا کندن چاه است. آن کسی که شغلش کندن چاه است در شناخت هم ورزیده می‌شود. به جایی می‌رسد که به دفائن العقول فکر می‌کند. حالا از ریاضی نمی‌خواهم دور بشوم، همین کار را می‌شود در ریاضیات متناهی انجام داد. حالا به نظر من یک ذره آدم به جای این‌که بگوید ترکیبیات متناهی، چون آن وقت یک مزه‌ای دارد از مزه فهم ترکیبیات‌دان‌ها، آدم بگوید از ریاضیات متناهی و ببینیم دفائنش چیست؟ هندسه‌ی پنهانش چیست؟ حالا من به این فکر می‌کنم.

آرش رستگار: هندسه‌های تصویری متناهی- یک مثالی از این‌ که یک موجود متناهی وقتی که شما هندسه‌ی پشتش را می‌بینید، چه‌قدر بهتر می‌فهمیدش، به نظرم رسید. ولی خیلی مثال بدیهی و شناخته شده‌ای است. ولی خب آن کاری را که شما می‌خواهید، فکر می‌کنم به خوبی انجام می‌دهد. صفحه‌های تصویری متناهی خصوصیات ترکیبیاتی دارند، که این خصوصیات ترکیبیاتی در بعد دو، مثال‌های غیر هندسی هم دارد. ولی در ابعاد بالاتر همه‌شان از صفحه‌های تصویری روی میدان‌های متناهی می‌آیند. بنابراین جا دارد که ما بگوییم هندسه‌ی پنهان. آن مسأله‌ی ترکیبیاتی، هندسه‌ی فضاهای تصویری است. واقعا هم به ما شهود می‌دهند. آن هندسه‌ی فضاهای تصویری و ارتباطاتشان و نگاشت‌های بینشان و ساختار هندسی‌شان که ما با چشم می‌بینیم، تخیل می‌کنیم، راجع به این‌ که با آن موجودات ترکیبیاتی چه کارهایی می‌توانیم بکنیم، به ما خیلی حرف می‌زنند. فکر کنم این، آن مثالِ خواسته‌ی هندسه‌ی پنهان در یک شیء متناهی شما را برآورده می‌کند.

امیرحسین اکبرطباطبایی: هندسه‌ی تصویری، جبر و طرح‌های بلوکی- یک چند تا نکته‌ی خیلی پراکنده به عقلم می‌رسد. من‌ هم ذهنم می‌رود همان جایی که ذهن شما می‌رود اساسا. یعنی همین هندسه‌های متناهی. اصلا به طور خاصی هندسه‌ی تصویری متناهی. حالا نکاتی که به عقل من می‌رسد، یک بخشی از آن، کارهایی است که انجام شده. یک بخش دیگر هم هست که به نظر جالب است، ولی اگر بخواهیم انجام بدهیم، خیلی هم جالب در نمی‌آید. خیلی خام است یعنی باید با مقدار زیادی نمک مصرف بشود. ولی حالا من سعی می‌کنم که یک چیزهای معقولی بگویم. اول این‌ که، خب همه‌ی ما می‌دانیم که هندسه‌ی تصویری دو‌ بیان مختلف دارد. اولی بیان سینتتیک یا اصل موضوعی است. اول فرض می‌کند که دو گونه موجود در هندسه وجود دارد، یعنی خط و نقطه. بعد هم اصولی وضع می‌کند درباره‌ی وقوع نقطه‌ها روی خط‌ها. مثلا اصلی داریم که می‌گوید که از هر دو نقطه یک و تنها یک خط می‌گذرد. یا اصلی داریم که می‌گوید هر دو خطی در یک و تنها یک نقطه هم‌دیگر را قطع می‌کنند که خب این دومی مختص هندسه‌ی تصویری است و مثلا در هندسه‌ی آفین اتفاق نمی‌افتد. بیان دوم اما همان است که معمولا آن را بلدیم یعنی بیان آنالیتیک یا تحلیلی. این‌جا نقطه در واقع خطی است که از مبدأ می‌گذرد. خط هم اصولا همان خط است ولی از مبدا نمی‌گذرد. این دو تا نحوه مختلف برخورد با هندسه‌ی تصویری است. همین وضعیت را مثلا با هندسه‌ی اقلیدسی، هذلولوی و بیضوی هم داریم. حالا این بحث به ترکیبات چه ربطی دارد؟ ربطش در آن نسخه‌ی سینتیک هندسه است. این اساسا درست است که ما به آن هندسه می‌گوییم، ولی اگر دقت کنید می‌بینید که هیچ‌ چیز نیست جز یک سری دیتا درباره‌ی یک رابطه‌ی دوموضعی بین دو سری موجود گسسته. بنابراین این دنیای هندسی شما یک شی گسسته‌ی ترکیبیاتی است. حالا مثلا می‌شود نقطه‌ها را نقطه فرض کرد و خط‌ها را زیرمجموعه‌هایی از این نقاط. وقوع هم عضویت نقطه در مجموعه باشد. بنابراین یک سری زیرمجموعه از یک مجموعه داریم. این مجموعه‌ی نقاط لزوما متناهی نیست اما اگر باشد، آن وقت هندسه‌ی ما می‌شود هندسه‌ی متناهی. آن وقت این جانوری که دست شماست می‌شود یک موجود ترکیبیاتی. بعد نمونه‌هایی داریم که بلدیم. مثلا صفحه‌ی فانو، یک صفحه‌ی تصویری متناهی است. حالا از این دو تا بیان که در هندسه‌ی تصویری دیدیم می‌شود برای موجودات دیگر ترکیبیاتی هم استفاده کرد. انگار مثلا من دارم می‌گویم که یک نسخه‌ی جدیدی از تعبیر دکارت شاید وجود داشته باشد برای ترکیبیات. تا قبل از دکارت ما با یک موجود هندسی طرفیم، دکارت به ما یاد می‌دهد که می‌توانیم برای این‌ها مختصات بگذاریم. به آنی که مختصات می‌گذاریم با یک موجود جبری طرف هستیم و کار آسان‌تر می‌شود. حالا من ادعا نمی‌کنم که همیشه می‌شود این کار را کرد، ولی شاید هم بشود. مثلا همین آنالیز روی گراف که بحثش را کردیم. به فرض که شما کمیت‌های روی گراف را مطالعه می‌کنید. کمیتی که به هر راس یا یال گراف مقدار نسبت می‌دهد، وزن نسبت می‌دهد، فلان را نسبت می‌دهد. در واقع کاری که دارد می‌کند این است که دارد روی آن موجود متناهی مختصات‌گذاری می‌کند. بعد تغییر مختصات را مطالعه می‌کند. همان‌طور که شما یک شی هندسی را اگر به من بدهید من روی آن مختصات می‌گذارم، بعد کمیت‌های مختلف را مثلا x, y و z را که از هر نقطه می‌گیرم، شما می‌توانید تعبیر کنید به توابع که از شکل می‌روند به مثلا ℝ. روی یک گراف هم وضع همین طور است. توابعی داریم که از گراف می‌روند به ℝ. یعنی می‌خواهم بگویم که خیلی هم بعید نیست چنین کاری. این رهیافت دکارتی به ترکیبیات. حالا می‌توانید تصور کنید که چه‌قدر هم پرفایده ممکن است باشد این فکر. به هندسه‌ی ماقبل دکارت و مابعد دکارت فکر کنید. می‌بینید که با جبری‌سازی هندسه یک دفعه چه درهایی باز می‌شود به رویمان. یکدفعه هندسه‌ی اقلیدسی اصل‌موضوعی تبدیل می‌شود به یک ماشین عظیمی‌ که جبر در آن آزاد کرده است. حالا چیزی که می‌گویم این است که این ایده‌ی مختصات‌گذاری چیز خوبی است برای ترکیبیات. حالا در کیس هندسه‌ی متناهی، ما یک چیزهای بیشتری بلدیم. بگذارید قصه‌اش را بگویم. فرض کنید که من به شما یک میدان می‌دهم، مثلا متناهی، بعد شما روی این میدان متناهی می‌توانید هندسه‌ی تصویری بنویسید با همان سبک تحلیلی. چون میدان متناهی است، همه چیز هم متناهی است. تعداد نقطه‌ها و خط‌ها و غیره. یک هندسه‌ی تصویری می‌توانیم بنویسیم یعنی یک مدلی بنویسیم که نقطه و خط و وقوع را معنی کنیم به طوری که آن اصول که حرفش را زدیم در آن مدل درست باشد. حالا خیلی خوب می‌شد اگر مطمئن می‌شدیم که هر هندسه‌ی تصویری متناهی هم دقیقا یکی از این‌هاست. این حکم برای ابعاد سه و بالاتر از آن درست است اما در بعد دو یعنی برای صفحه دیگر درست نیست. در صفحه ما هندسه تصویری‌هایی هم داریم که از این‌جا نیامده‌اند. اگر اشتباه یادم نباشد، فکر کنم به آن‌هایی که از این مسیر تحلیلی می‌آیند می‌گویند دزارگین و آن یکی‌ها نان‌دزارگین هستند، و دزارگین برمی‌گردد به اسم دزارگ و قضیه‌ای هست به اسم قضیه‌ی دزارگ و این‌ هندسه‌های تحلیلی دقیقا همان‌هایی هستند که آن قضیه را ارضا می‌کنند، اگر اشتباه نکرده باشم. حالا این را تصحیح می‌کنیم با دکتر رستگار، اگر اشتباه بگویم. حالا شما این جزئیات را فراموش کنید. فرض کنید که این‌ها واقعا یکی هستند، حالا بعد بالاتر را در نظر بگیرید یا دزارگین‌ها را در بعد دو در نظر بگیرید. حالا چون قضیه‌ی دزارگ یک قضیه‌ی ترکیبیاتی‌تر است که با وقوع و این‌ها می‌توان نوشت، این یکسانی دو بیان هندسه در واقع یکسانی جبر با موجوداتی ترکیبیاتی است. در یک طرف یک موجود ترکیبیاتی داریم که درباره‌ی زیرمجموعه‌های یک مجموعه‌‌ی متناهی است. آن طرف هم یک میدان متناهی داریم. بنابراین یک کانکشن برقرار کردیم بین میدان‌ها و هندسه‌ها، یعنی من نسخه‌ی ترکیبیاتی میدان را که موجودی جبری است پیدا کردم. یک میدان متناهی را من می‌توانم یک بیان دیگری ازش پیدا کنم که آن صفحه‌ای است که روی میدان واقع شده. این موجود ترکیبیاتی است، در واقع ترکیبیاتی کردم جبر متناهی را و بعد خب شما این‌جا می‌توانید فضولی کنید که این پلی که درست کردید چه قدر اجازه می‌دهد که جبر را منتقل کنید به ترکیبیات؟ مطمئن نیستم که چقدر می‌شود این کار را کرد یا اصلا به درد می‌خورد یا نه. حالا مثلا شما آن طرف در میدان‌ها مثلا توسیع میدان دارید. اگر نتوانید یک معادله را حل کنید در یک میدانی، میدان را توسیع می‌دهید. خب کم و بیش معادل هندسی-ترکیبیاتی آن شبیه این است که مثلا یک نقطه‌ای که یک کاری را باید برآورده می‌کرده موجود نیست، مثلا یک اشتراکی که باید موجود نیست. و در نتیجه من شی ترکیبیاتی را بزرگ می‌کنم تا آن نقطه پیدا بشود. به این شکل ممکن است که بشود منتقل کرد یک میزانی از نظریه‌ی توسیع میدان‌ها را به این طرف. مثلا می‌شود فکر کرد که تئوری گالوا این طرف چه می‌شود در مقایسه با آن طرف. می‌شود این‌جا فکر کرد که تبدیل‌های صفحه به صفحه را بررسی کنیم که یک صفحه‌ی کوچک‌تری را ثابت نگه می‌دارد. باید دید دیگر. نمی‌دانم. می‌خواهم بگویم که جبر معادلی دارد این‌طرف. یعنی یک پلی است بین جبر و بعضی موجودات ترکیبیاتی.

حالا می‌شود این ارتباط را جدی‌تر هم گرفت. این دفعه برای یافتن بیان ترکیبیاتی اشیای خمیده‌ی هندسی به جای اشیای صافی مثل صفحه. مثلا مجموعه‌های جبری که موجود مورد علاقه‌ی ما در هندسه‌ی جبری هستند، ریشه‌های چندجمله‌ای و این‌ها را ببریم آن طرف و تبدیل کنیم به پدیده‌های ترکیبیاتی. حالا ممکن است فکر کنید که من دارم حرف‌های بیخود می‌زنم و این‌ها یک کم زیادی دور از ذهن هستند. واقعا این‌طور نیست. یک بخشی از هندسه‌ی متناهی وجود دارد که دقیقا برای همین کار است. ولی آن طوری که شایسته و بایسته است به نظرم نیست. یک سری نکات دارد. مثلا می‌توانید بپرسید آن طرف در هندسه‌ی جبری تحلیلی شما مقاطع مخروطی یا چه می‌دانم معادله‌ی درجه دوم و ریشه‌هایش را دارید، این طرف چه دارید؟ یادم نیست جزئیاتش را. نسخه‌ی ضعیفش را فکر کنم می‌گویند اوبال. بعد نسخه‌های قویترش را می‌گویند آرک. ایده این است که معادل خم درجه‌ی دو یک زیر‌مجموعه‌ از نقطه‌هاست که هر خطی آن را حداکثر در دو نقطه قطع می‌کند. در ذهنتان یک بیضی تصور کنید. هر خطی آن را در حداکثر در دو نقطه قطع می‌کند چون درجه‌ی معادله‌اش دو است. بعد می‌شود یک اکسیوماتیزیشن نوشت برای این خم‌ها. اینجا یک قضیه‌ی معروفی هست که من یادم رفته که کی ثابت کرده. قضیه می‌آید و این مقاطع مخروطی را  رده‌بندی می‌کند به شکل ترکیبیاتی. برای درجه‌های بیشتر از دو چه؟ این یک توئیستی دارد که مجموعه‌ی جبری اینجا خیلی خوش تعریف نیست. دلیلش هم این است که چون فضای من متناهی است، هر مجموعه‌ای جبری است و بنابراین من اگر بگویم مجموعه‌‌های جبری‌ را می‌خواهم مطالعه کنم، این یعنی دارم همه زیرمجموعه‌ها را مطالعه می‌کنم. بنابراین یک سطحی از محدودیت باید ایجاد کرد یا مثلا پارامتریک بررسی کرد. این پارامتریک کردن هم رهیافت معمول گذر از نامتناهی به متناهی است مثلا در رمزی تئوری نمونه‌اش را می‌شود دید. حالا به هر حال حرفمان این است که هندسه‌ی جبری را می‌توانیم تا حدی به ترکیبیات محض منتقل کنیم. حالا ممکن است بگویید که خب انگار دارید هندسه را دو جور مطالعه می‌کنید. سینتتیک و غیر‌سینتتیک. بالا برویم، پایین بیاییم مطلب همان هندسه است. چه لزومی‌ دارد که من بیایم این کارها را بکنم، بعد بیایم بفروشم به عنوان ترکیبیات؟ این‌جا من می‌توانم فضایی پیدا کنم و درباره‌ی بلاک‌دیزاین حرف بزنم که دکتر رستگار مدام به آن اشاره می‌کند. چرا این بلاک‌دیزاین این‌قدر مهم است؟ برای این‌ که بلاک‌دیزاین تعمیم طبیعی هندسه‌ی تصویری است. این‌طوری به آن نگاه کنید که هندسه‌ی تصویری به شما می‌گوید که هر دو خطی دقیقا یک‌جا برخورد می‌کنند و هر دو نقطه‌ای دقیقا یک خط ازشان رد می‌شود. همین‌ها شرط‌های بلاک‌دیزاین است برای پارامترهای خاصی. یادم نیست دقیق، ممکن است که اشتباه بگویم، ولی مثلا شما یک سری زیرمجموعه را برداشتید از مثلا یک سایزی بعد می‌خواهید که هر دو تای آن‌ها دقیقا یک نقطه در اشتراک آن‌ها باشد. در کیس فضای تصویری سایز شما دو است که قرار است هر دو نقطه‌ای یک خط را معلوم کنند دقیقا. که این‌ یک حالت خاص بلاک‌دیزاین است. این ارزش دارد که از آن الهام بگیریم. ما از هندسه‌ی تصویری که از هندسه‌ی جبری ترجمه کردیم به ترکیبیات می‌توانیم الهام بگیریم، ببینیم این‌جا چه چیزهایی مهم است. مثلا اگر این یک تعمیم از هندسه است، معادلات دیوفانتی این‌جا چه می‌شوند؟ این ساختارهای دیوفانتی چه چیزهایی هستند در بلاک‌دیزاین که باید جالب باشند؟ یا برعکس ما هندسه را به کمک مختصات نوشتیم و دیدیم که یک میدان آن پشت است. حالا بلاک‌دیزاین را چه طوری می‌شود به آن مختصات داد؟ آیا می‌شود آن را بُرد آن‌طرف و تحلیلی‌اش کرد؟ من دارم الهام می‌گیرم برای چیزی که خود ترکیبات‌کار هم دوست دارد. اتفاقا به حق هم دوست دارد بلاک‌دیزاین و این ها را. عملا ما می‌دانیم که این‌ها به درد می‌خورد در کورکتینگ کُد و این‌طور بحث‌ها، بحث‌های به درد بخور و روی زمین و ...

نکته‌ی دیگری که این‌جا می‌خواهم به آن اشاره کنم حضور پارامتر است. دکتر رستگار هم به حق اصرار می‌کنند که موجود هندسی را باید در خانواده‌اش مطالعه کرد که حرف درستی است. این‌جا هم یک جور خانواده در کار است. اول یک غری بزنم که در مطالعه‌ی این کونیک‌ها همه چیز خیلی حساس است به کاردینال. می‌پرسند که چند تا از این‌ کونیک‌ها با فلان شرط وجود دارد یا مثلا ماکزیمم کاردینال این چه می‌تواند باشد؟ از این چیز‌هایی که در ترکیبیات شمارشی معمول است. چیزی که بد است این است که این‌ها ساختمانند و ارزش مطالعه‌ی ساختاری دارند. من برای این‌که دفاع کنم که مشکلی با خود شمارش ندارم، شما ببینید در خود هندسه‌ی جبری هم وقتی میدان متناهی و این‌ها دارید، دوست دارید بدانید چند تا نقطه‌ روی خم شما واقع شده. این را می‌شمارید. این مهم است. حدس وی که معادل حدس ریمان در دنیای جبری است بر اساس همین شمردن و این‌هاست. بنابراین شمردن مهم است. منتها ساختمان هم مهم است. یعنی تمام هندسه‌ی جبری که در مورد شمردن در کیس متناهی نیست. در ترکیبیات هم ساختمان‌ها، نگاشت‌های بینشان و این‌ها باید مهم باشند.  این از این. حالا برگردیم به مطالعه کردن اشیا در خانواده‌هایشان که دکتر رستگار هم خیلی دوست دارند. یک خانواده‌ی خیلی طبیعی که بلاک دیزاین‌ها دارند همین پارامترهای سایز است. پارامتری که وقتی دو است می‌شود هندسه‌ی تصویری. آن پایین تعداد اشتراک این‌ها که من آلان درست یادم نیست، وقتی می‌رود بالا چیز‌های مختلفی می‌شود. این خانواده احتمالا خانواده‌ی معقولی است. به شما چیزهای جالبی یاد می‌دهد که حالت خاصش را در هندسه یاد گرفتی. از آن‌جا حدس می‌زنی که بزرگ‌تر‌هایش را چه ببینی. برداری بیاوری این‌جا مطالعه کنی.

یک نکته‌ی دیگر که به همین بهانه‌ی بلاک‌دیزاین باید بگویم درباره‌ی راززدایی در ریاضیات است. یعنی رازگشایی از اتفاقاتی که رمزآلودند. این یک رهیافت گروتندیکی است به ریاضیات. که هرچیزی باید در ساده‌ترین حالت ممکنش باشد بدون هیچ تریکی. نسخه‌ی المپیادی آن این است که بدون خط اضافه، مسئله‌ها باید حل شوند، خیلی باید تمیز و گام‌ها همه بدیهی باشد. البته که شما باید در آخر چیزی نابدیهی را اثبات کنید اما فقط و فقط گام‌های بدیهی را بردارید در مسیرتان به سمت امر نابدیهی. اگر شما چیزی را دیدید راز آلود که سر و کله‌اش همه‌جا پیدا می‌شود و خیلی عجیب مسائل را حل می‌کند باید از خودتان بپرسید برای چه. یک توضیح عمیق‌تری باید باشد. مثلا دارید نظریه‌ی اعداد کار می‌کنید. یک دفعه سر و کله‌ی تابعی پیدا می‌شود به اسم زتای ریمان که تابعی است با مقادیر مختلط. این چیست؟ این چه کار به عدد دارد؟ بعد می‌بینی که از این‌ها یکی برای واریته هم درست کرده‌اند، یکی هم برای گراف، اصلا هرکی می‌آید می‌بینی که زتای خودش را دارد. این مشکوک است. یعنی شما باید بپرسید که این فرم‌ها و سری‌ها چه هستند؟ برای چه سر و کله‌شان این‌جا پیدا شده است. هر کدام هم به درد یک کار می‌خورد. اگر این رازآلود است که هست، شما باید سعی کنید که به آن جواب بدهید. اگر نمی‌توانید معنی‌اش این است که یک چیزی را متوجه نمی‌شوید. ممکن است که ریاضیات در دوره‌ی شما هم هنوز نفهمیده باشد، ولی باید بروید دنبالش که سعی کنید بفهمید که این راز‌زدایی بشود ازش. مثلا برنامه‌ی لنگلندز را می‌شود تبدیل کرد به تلاش برای راززدایی از این حضور زتای ریمان. حالا این چه ربطی به بلاک‌دیزاین دارد؟ این‌جا ما یک راززدایی کوچک می‌توانیم بکنیم. شما اگر در دانشگاه ترکیبیات خوانده باشید، بعید نیست که بارتان به بلاک‌دیزاین خورده باشد. این‌ها اکثرا ساختنشان سخت است. اما بعد به‌ طور معجزه‌آسایی به شما یاد می‌دهند که اگر یک میدان متناهی داشته باشید می‌توانید به سادگی بلاک‌دیزاین تولید کنید. می‌بینید مثلا اگر پارامتر مربوطه توان یک عدد اول باشد طراحی آسان می‌شود به این دلیل که برای توان‌های اول میدانی متناهی با آن اندازه موجود است. این‌جا جایی است که قرار است جبر و ترکیبیات به هم کمک کنند. اما این کلک استفاده از میدان متناهی یک حالت مرموزی دارد. اگر برای بار اول دیده باشیدش، یک جور غریبی است. می‌پرسید که این چه طوری از ناکجا آمد به کمک ما این‌جا؟ به نظر یک زرنگی خیلی خاصی است، خط اضافه‌ی عجیبی است. اما معجزه‌ای در کار نیست. همان‌طور که دیدیم میدان متناهی، نسخه‌ی تحلیلی هندسه‌ی تصویری است که خودش حالت خاص بلاک‌دیزاین است. این تعجب ما شبیه این است که ما در یونان باستان باشیم و با این مقاطع مخروطی به نحوی مطلقا هندسی کار کنیم و بعد بر ما معلوم بشود که معادله‌های درجه دو که می‌نویسیم، کار ما را این‌جا خیلی راه می‌اندازد. خب الان ما می‌دانیم که این‌جا هیچ معجزه‌ای در کار نیست. دلیلش این است که این‌ها همان نسخه‌ی جبری-تحلیلی مقاطع مخروطی هستند. به نظر از هم خیلی فاصله‌دارند اگر به آن فکر نکرده باشیم. ولی این همان است که لباسش را عوض کرده. در واقع پوینت این آنالوژی‌ها هم همین است که وقتی لباس عوض می‌شود، توانایی‌ها زیاد می‌شوند. آن وقت کارهای دیگری می‌توانیم بکنیم که آسان نیست دیدنشان این‌جا. این‌جا هم همین است. ساختمان میدان در واقع آن پشت قائم شده است، شما ساختمان میدان را نمی‌بینید. من می‌کشمش بیرون، شما میدان را می‌بینید. جمع و ضربی هست که قبلا نمی‌دیدید، که این خب یک‌هو کمک بزرگی به شما می‌کند، جمع و ضربی که می‌شود حتی تقسیم کرد. نعمت بزرگی است داشتن چنین جبری.

و در نهایت. چند مدت است که یک قصه‌ی بلند دارم که هی می‌گویم بگویم یا نگویم. اما حالا که دکتر رستگار می‌گویند ببندیم ترکیبیات را شاید بد نباشد یک کم راجع به آن حرف بزنم. آن هم هموتوپی گسسته است. در کیس قبلی دکتر رستگار به آن اشاره می‌کند. این هم چیز جالبی است که هم کاربرد بامزه‌ای دارد، هم وصل می‌شود به ریاضیات اصیل بالا. حالا نمی‌دانم که این چه قدر کار می‌کند. ذاتش به نظر می‌رسد که از جنس مسخره‌بازی‌های معمول نیست. کار درست درمانی است. بهتر است من یک‌ کم فکر کنم ببینم که آیا ما به اندازه‌ی کافی حرف‌های به درد بخور مختلف زدیم یا نه؟ چون وقتی حرف می‌زنی، به نظر خودت زیاد می‌آید، ولی وقتی می‌روی دنبال ریشه، می‌بینی مایه‌ی آن زیاد نبوده است. بعد راجع به هموتوپی صحبت می‌کنیم.

امیرحسین اکبرطباطبایی: مقدمه‌ای بر هموتوپی توپولوژیک- هنوز ما در ترکیبیات هستیم و من می‌خواهم کمی درباره‌ی نظریه‌ی هموتوپی در شکل گسسته‌اش، یعنی دیسکریت هموتوپی تئوری، نسخه‌ی گسسته شده و به ترکیبیات آمده‌ی هموتوپی تئوری حرف بزنم. و فکر می‌کنم که این یک مثال خوبی هم هست. حالا به دلایلی. یکی این‌ که یک ریاضیات خوبی را بر می‌دارد و می‌آورد شکل گسسته‌اش را دولوپ می‌کند که در راستای چیزهایی است که داریم می‌گوییم که باید تا یک حدی نسخه‌ی خوب ریاضیات در شکل گسسته‌اش موجود باشد. دو این‌ که این درس‌های خوبی درش هست که می‌توانیم درباره‌اش حرف بزنیم. مثلا یک درس خیلی خوبش این است که دارد به ما می‌گوید که چه‌ طوری به کمک آنالوژی باید فکر کنیم، نه همین‌ طوری مستقیم یک مفهومی را از یک جا کپی کنیم به جای دیگر. این یعنی سعی کنیم پل درست کنیم. گاهی پل‌های مستقیم امکان‌پذیر نیست، در این کیس هست البته. و بعد یک درس دیگر هم دارد و آن به کمک آنالوژی فکر کردن است و آن این که گاهی با دیدن آنالوگ یک چیز، بوی این می‌آید که این موجودات یک جدّ مشترک دارند. باید درباره‌ی این جدّ مشترک حرف بزنیم. بعد ببینیم خب ما این را وقتی تعمیم می‌دهیم، یک جدّی را درست می‌کنیم. این جدّ جاهای دیگر هم باید به دردی بخورد. درباره‌ی این حرف بزنیم یک کم. حالا به لحاظ تاریخی این‌جور نیست. این‌ها این‌طور دیده نمی‌شود. به لحاظ فلسفی، می‌توانیم این‌ها را این‌جوری بچینیم که درسی به ما بدهد. در نهایت با یک چیز خوشگل به درد بخوری که همه جانبه است سروکار داریم. آن‌ وقت می‌رسیم به آن مسئله‌ی راززدایی که این راز ایجاد می‌شود که چرا این جد مشترک آن‌قدر مهم است؟

من تصورم این است که هموتوپی تئوری یک مقداری پیشرفته است. معمول این است که این یک درس ارشد است و به همین خاطر درباره‌ی هموتوپی یک کوچولو می‌خواهم توضیح بدهم و فرض نکنم که دانسته است. برای این‌که بی‌مزه هم نباشد یک فنی می‌زنم. این را در یک کانتکست بزرگ‌تری توضیح می‌دهم. اما قبلش یک سری شلوغ‌کاری‌های فلسفی بکنم. قبلا ما درباره‌ی دیفورمیشن حرف زدیم اگر یادتان باشد و درباره‌ی مثلا آنالیز روی گراف. به بهانه‌ی دیفورمیشن یک شی گسسته دو تا ایده مطرح شد در مورد شناختن اشیای ریاضی که الان در موردش حرف می‌زنیم. اول فرض کنید که موجوداتی که می‌خواهید مطالعه کنید یک خانواده‌ی بزرگ تشکیل می‌دهد و شامل موجودات پیچیده‌ای است. مثلا همه‌ی موجودات توپولوژیک یا همه‌ی خانواده‌هایی از جبرهای به فلان فرم را در نظر بگیرید. بعد فرض کنید که یک زیرخانواده هم هست که متشکل است از موجوداتی ساده‌تر که قابل فهم‌ترند و ما بیشتر می‌شناسیم آن‌ها را یعنی راحت‌تر می‌شود با آن‌ها کار کرد. در کیس فضای توپولوژیک، بسته به کاربردهایی که دارد، این اشیای ساده می‌توانند چیزهای مختلفی باشند. مثلا یک بازه‌ی بسته یا یک مربع یا یک مکعب یا همه مکعب‌مربع‌های n-‌بعدی و این‌ها. این‌ها همه‌ی توان‌های I هستند که I بازه‌ی بسته‌ی صفر تا یک است. توی نظریه گراف، این اشیای ساده‌تر می‌توانند یک یال باشند یا یک رأس. یک راس یک ذره کم است، چون دیتای کافی ندارد. باید دیتای یالی هم داشته باشیم. یا مثلا برای منیفلد که یک رویه‌ی خمیده‌ است شی ساده خط حقیقی ℝ است، و الی ماشاءالله مثال می‌شود آورد. حالا فرض کنید که می‌خواهیم یک موجود ریاضی نه لزوما ساده را در این خانواده مطالعه کنیم. دو جور رهیافت هست در مطالعه شی داده شده. گاهی ما نگاشت‌هایی که از اشیای ساده به داخل این موجود می‌روند را مطالعه می‌کنیم. گاهی نگاشت‌هایی که از این موجود می‌روند بیرون به داخل آن موجودات ساده. در واقع اینترکشن موجودات ساده را با این شی داده شده مطالعه می‌کنیم. آن وقت‌هایی که نگاشت‌ها می‌روند به داخل X انگار ما داریم X را مطالعه می‌کنیم با لنز موجودات ساده. گاهی برعکس نگاشت‌هایی که از X می‌رود بیرون را در نظر می‌گیریم که می‌شود کمیت‌های ساده روی X. مثلا، برای این‌که مثال بزنم، فکر کنید مثلا شما یک گرافی دارید. اگر من بگویم همه نگاشت‌هایی که از یک نقطه یا یال می‌رود به گراف را مطالعه کنیم، دارم به شما می‌گویم که همه‌ی رئوس و همه‌ی یال‌هایش را دارم در نظر می‌گیرم. ببین چه می‌توانی به من بگویی. انگار شکافته باشم گراف را.  حالا شما ممکن است بگویی نه خب این کم است، مثلا مثلث‌هایش را هم به من بگو. این می‌شود همه مثلث‌هایی که نگاشت می‌شود داخل گراف. همه مثلث‌هایش را هم می‌خواهم. بسته به این‌که چه‌ کار داری، به میزانی از اطلاعات نیاز داری و یک مقداری اطلاعات برمی‌داری و کارت را انجام می‌دهی. بعضی وقت‌ها هم برعکس، که از فضا می‌رویم بیرون. مثلا فضای توپولوژیک را در نظر بگیرید. نگاشت‌هایی که از این فضای توپولوژیک می‌رود به ℝ می‌شود کمیت‌هایی که روی آن فضا هست. به کمک کمیت‌ها که مبنای آنالیز است ما می‌توانیم فضا را بشناسیم. مثلا یک نمونه‌ همان آنالیز روی گراف است. مثلا گراف را می‌گیرم، کمیت‌های روی آن را در نظر می‌گیرم. مختصات‌گذاری اساسا چنین کاری است. یک وقتی هم نگاشت‌هایی می‌آیند داخل که مثال آن دیفورمیشن است. نگاشت‌ها از کجا می‌آیند؟ یک خانواده. مثلا یک خانواده از جبرها. اشیای آن خانواده می‌شود پارامتر تغییر. این دو جور نگاه کردن را باید هی در ذهن داشته باشیم. هموتوپی‌ تئوری از جنس نگاشت‌هایی است که داخل می‌روند. قصه‌ی هموتوپی را معمولا این‌طور نمی‌گویند. می‌گویند در مورد این است که نگاشت‌ها را نرم به هم تغییر بدهیم. سوراخ‌ها را بشناسیم و این‌ها. حرف غلطی هم نیست، ولی اینی که من دارم می‌گویم صحیح‌تر و قابل تعمیم‌تر است.  این کلیات را در نظر بگیرید، حالا باید برویم سراغ جزئیات هموتوپی در کانتکست توپولوژی. فرض کنید یک فضای توپولوژیک پیچیده داریم. بعد می‌گویم بیایید یک اندازه‌ای از این سر در بیاوریم. دیتایش را بکشیم بیرون. درباره‌اش حرف بزنیم و باید ببینم نگاشت‌هایی که داخل این می‌روند، از کجا بروند خوب است. مثلا از بازه‌ی بسته صفر و یک بروند به داخل فضا. هر چنین نگاشتی یک مسیر پیوسته است که از یک جایی شروع می‌شود و در داخل X می‌رود به نقطه‌ای دیگر. وقتی می‌گوییم همه نگاشت‌ها را در نظر بگیریم، می‌گوییم خب فضای توپولوژیک X را به من داده‌اید، اما من ازش سر در نمی‌آورم. ولی همه‌ی مسیرهای در آن را اگر بتوانم ازش سر دربیاورم، یک مقدار اطلاعات ازش به دست می‌آورم. شما ممکن است بپرسید خب چه به دست می‌آوری آن‌وقت؟ مثلا این‌ که آیا این فضا همبند مسیری است یا نه را می‌شود این طور فهمید. اگر مثلا من دو تا نقطه پیدا کنم در این فضا که هیچ مسیری بینشان نباشد، در واقع ناهمبند مسیری است. در حدّ همبندی‌ مسیری‌اش می‌توانم بفهمم فضا را. اما خب همبندی مسیری چیز بی‌نمکی است، ولی خب این هم یک چیزی است دیگر. اما اطلاعات بیشتری در مسیرها هست، به شرطی که قول بدهیم در یک سطح بالاتری هم حرف بزنیم و آن سطح بالاتر یعنی که مربع‌ها را هم بگذاری من دخیل کنم. یعنی نه فقط نگاشت‌هایی که از صفر و یک می‌روند به فضا بلکه نگاشت‌هایی که از مربع به فضا می‌روند را هم دخیل کنیم. آن وقت صفر‌بعدی‌ها نقطه‌اند، یک‌بعدی‌ها مسیرند و دو‌بعدی‌ها مربع‌. توجه کنید که تصویر مربع در فضا می‌تواند موجود خمیده‌ای باشد. و حالا یک چیزهای بیشتری را هم می‌توانم بگویم. مثلا می‌توانم درباره‌ی سوراخ‌های فضا به شما اطلاعات بدهم. حالا یعنی چه؟ مثلا فرض کنید که یک صفحه را در نظر بگیریم و وسطش یک سوراخ بزرگ باشد. این سوراخ را می‌توانم کپچر کنم با همین دیتای مسیرهایی که می‌آیند داخل. چه‌طوری؟ دو تا نقطه اطراف سوراخ بگذاریم در داخل فضا. یک مسیر از بالای سوراخ برود از این نقطه به آن و یک مسیر دیگر از پایین سوراخ. این دو تا مسیر را اجازه دارم از آن‌ها حرف بزنم. این دو تا مسیر یال‌های هیچ مربعی نیستند. یک مربع، اگر در فضا باشد می‌افتد روی این سوراخ. هیچ مربعی توی فضا نیست به خاطر این که آن مربع را هر طور بگذارم می‌افتد روی این سوراخ. ولی اگر فضا سوراخ نداشت، آن وقت من هر دو تا مسیری که می‌نوشتم بین این دو تا نقطه، می‌شد دو ضلع یک مربع در نظر گرفت. حالا می‌شود این استدلال را تعمیم داد و تعداد سوراخ‌های فضا را هم شمرد. این چیز مهمی‌ است، چون به ما یاد می‌دهد بین فضاها تفکیک قائل شویم. یعنی بدون این‌ که همه‌ی اطلاعات فضا را داشته باشیم، می‌توانیم بعضی فضاها را از هم تفکیک کنیم. مثلا از این‌جا می‌فهمیم که هیچ همسانریختی‌ای بین یک دایره‌ی توخالی و یک دایره‌ی توپُر موجود نیست. برای این‌که دایره‌ی توپر را همیشه می‌توان مربع‌هایش را پُر کرد اما دایره‌ی توخالی را نمی‌شود. این مبنای یک چیزی‌ است که به آن می‌گویند توپولوژی جبری. حالا این رهیافت را در نظر بگیرید. یک جور دیگر هم این را می‌فروشند به ما. می‌گویند مربع خودش چیست؟ مربع یک بازه است ضرب در یک بازه. یک بازه را بکنید مسیر و یک بازه‌ی دیگر را بکنید زمان. بعد آن وقت یک طوری می‌شود که من یک عالمه مسیر دارم می‌نویسم. همین‌طور دارند به هم تبدیل می‌شوند. از آن مسیری که آن طرف مرز است، روی مربع آرام آرام حرکت می‌کنم و می‌رسم به این‌طرف مرز. بنابراین معادلا می‌گویند سوراخ را می‌شود این‌طوری فهمید که نبودن سوراخ در فضا یعنی که هر دو مسیر با انتهای مساوی را می‌توان به هم تبدیل کرد. مبنای هموتوپی تئوری در توپولوژی در واقع این فکر است که اگر همه‌ی مسیرها را که شما در نظر بگیرید، این ها واقعا تشکیل گروه هم می‌دهند. این‌که مسیرها را می‌شود گذاشت پشت سر هم. نمی‌خواهم دیگر پیچیده کنم کار را. حالا یک کسی می‌تواند به شما بگوید که خب شما که این حرف‌ها را در توپولوژی گفتی، قشنگ هم گفتی، به ما یاد دادی که می‌شود سوراخ‌های فضا را با آن کپچر کرد. خب گراف هم مگر فضای توپولوژیک نیست یک جورهایی؟ گراف هم چند تا نقطه است که با چند تا خط به هم وصل هستند. فضای لاغر مردنی و نحیفی است، چون اشیای دو بعدی در آن نیستند. همه یک بعدی اند. اما بالآخره این یکجور فضاست. آیا همان فکرها این‌جا کار نمی‌کند؟ جواب این است که بله کار می‌کند. خیلی هم خوب کار می‌کند. شما دو تا کار می‌توانی بکنی. یکی این‌ که بگویی که بیایید گراف را وانمود کنیم که یک فضای توپولوژیک است و بعد درباره‌اش حرف بزنیم. یعنی چه‌ کار می‌کنیم؟ خب یک سری نقطه هستند و یک سری خط که به هم وصلند. گراف را هم ساده و بدون جهت در نظر بگیریم که کار آسان باشد. یک سری نقطه و خط هستند که به هم وصلند. شما بیایید نقطه‌ها را بکشید. فرض کنید آن خط‌ها مسیرهای پیوسته‌اند. یک‌هو می‌شود یک فضای توپولوژیک. شکل فرمال مطلب این است که یک سیمپلکس نسبت می‌دهیم به گراف. دورهمی‌اش این است که گراف را می‌نشانیم در Rn. خیلی خب این می‌شود گراف شما که به فضای توپولوژیک تبدیل شده. بعد می‌گویی الان من می‌توانم در مورد مسیرها در این فضا حرف بزنم. مسیرهای پیوسته‌ آن را و سوراخ‌هایش را هم می‌توانم پیدا کنم، این خوب است. خوب است ولی خیلی هم خوب نیست. چرا؟ برای این‌ که وقتی که شما می‌خواهی یک گراف را مطالعه کنی، دوست داری اطلاعاتی که از آن می‌گیری هنوز از جنس گراف باشد. مثلا هر دو مسیر بین دو نقطه از دو جای مختلف وسطش سوراخ است. در توپولوژی، گراف پر از سوراخ است اما ما فقط سوراخ‌های گسسته را می‌‌خواهیم. با گذر به توپولوژی داریم آن خط‌کشی‌ها را، تکه‌تکه شدن گراف را نمی‌بینم و این بد است. ما می‌خواهیم به لحاظ گسسته سوراخ را پیدا کنیم. چرا باید سوراخ گسسته پیدا کنم؟ برای این‌ که  این سوراخ گسسته می‌شود فقدان یک سری دیتای گسسته. بگذارید به سراغ تاریخ برویم. تئوری هموتوپی گسسته را اولین بار اتکین درست کرده، وقتی درباره‌ی سیستم‌های دینامیکی و این‌ها حرف می‌زده. ایده این است که شما فرض کنید نقطه‌ها اعضای یک دپارتمان هستند و کامیونیتی‌های دو نفره و سه نفره و این‌ها را در موجودی گسسته ضبط و ثبت کنیم. نتیجه البته گراف نیست، چون گراف فقط یال بین دو عضو دارد. شما فرض کنید یک ابرگراف است، به این معنی که نقطه و خط و مثلث و موجودات دو‌بعدی و سه‌بعدی دارید که یعنی اعضای دپارتمان و کمیته‌های چند نفری. حالا سوراخ این‌جا یعنی من فلان کمیته را که باید ندارم. می‌خواهم فقدان این موجودات گسسته  را بررسی بکنم. بنابراین نمی‌خواهم از دایره‌ی امور گسسته خارج بشوم. می‌خواهم این کار‌ها را بکنم و همه را گسسته بکنم. احتیاج به آنالوژی دارم. یعنی باید یاد بگیرم در توپولوژی چه‌ کار کردم. ادایش را دربیاورم این‌جا. حالا ممکن است نتیجه یکی بشود بعضی وقت‌ها. مثلا می‌بینیم اینجا یکی می‌شوند در کیس‌هایی. اما در سطوح پیچیده‌تر و در جاهای مختلف می‌بینیم که معلوم نیست نتیجه‌ها یکی بشود. این به عنوان مقدمه‌ای بر هموتوپی تئوری این جا باشد. بعد درباره‌ی این که این نسخه‌ی گسسته را چه‌طور بنویسیم حرف می‌زنم.

امیرحسین اکبرطباطبایی: هموتوپی گسسته- قرار شد آنالوگ هموتوپی تئوری توپولوژیک را برای گراف‌ها و در دنیای گسسته پیدا کنیم. کمی هم حرف زدیم که این به چه دردی می‌خورد. این کار اما فایده‌های دیگر‌ی هم دارد. فقط این‌ها نیست. خیلی مبهم یادم است، مثلا به هر ماتروئید می‌شود گرافی نسبت داد. می‌خواهی این‌ خانواده از گراف‌ها را رده‌بندی کنی، هموتوپی گسسته آن‌جا به طور طبیعی به عنوان ابزار ظاهر می‌شود. به عنوان یک مثال دیگر، یک نسخه‌ی دیگر همین هموتوپی گسسته هم برای گراف‌های جهت‌دار وجود دارد که به تابع زتای ریمان روی گراف مربوط می‌شود.

هموتوپی گسسته را حالا باید چطور تعریف کنیم؟ قبل از این یک نکته‌ای را هم درباره‌ی هموتوپی توپولوژیک بگویم. یک نکته‌ای که هست، این است که اگر قرار باشد بخشی از اطلاعات فضای توپولوژیک را بگیریم، مثلا مسیرها را و در حد وجود مربع‌های بینشان حرف بزنیم، بعضی فضاها با بعضی دیگر یکی می‌شوند. مثلا یک صفحه‌ی کامل با یک نقطه هیچ فرقی نمی‌کند. این‌ که در صفحه هر دو مسیری را می‌شود نرم به هم تبدیل کرد، انگار همه چیز را بشود کلپس کرد در یک نقطه‌. اصطلاحا می‌گویند این طور فضاها کانترکتیبل هستند، یعنی می‌شود آن را کانترکت کرد به یک نقطه‌. بنابراین این اطلاعات مسیرها و مربع‌ها فقط بخشی از اطلاعات فضاست و یکی بودن این اطلاعات خیلی ضعیف‌تر از وجود هومئومورفیسم بین دو فضاست. برای به دست آوردن اطلاعات بیشتر می‌شود این ابعاد را زیاد کرد و مکعب‌های ابعاد بالاتر را هم در نظر گرفت. ما سوراخ‌های دو بعدی را با مربع‌هایی که نمی‌توانند فاصله‌ی دو مسیر را پر کنند اندازه می‌گیریم. در ابعاد بالاتر من مربع‌ها را در نظر بگیرم به جای مسیرها و مکعب‌هایی که نمی‌توانند بین دو مربع را پر کنند را بررسی می‌کنم. آن وقت دارم سوراخ‌های سه بعدی را در نظر می‌گیرم. مثلا اگر یک صفحه داشته باشیم و وسطش سوراخ باشد، این سوراخ بعد بالاتر ندارد. وقتی من یک فضا داشته باشم که از وسطش یک کره را بردارم حالا یک سوراخ بعد بالاتر دارم مثلا.  می‌خواهم بگویم این قصه را می‌شود به ابعاد بالاتر هم برد و درباره‌ی هموتوپی مرتبه‌ی دو و سه و ... حرف زد. می‌شود گفت چه وقت‌هایی دو تا فضا در همه‌ی سطوح یکی هستند. یعنی این‌ که هر چه‌ قدر این مربع‌های مرتبه‌ی بالاتر را هم در نظر بگیریم، این دو فضا فرق نداشته باشند. یک عالم این‌جا می‌شود حرف زد که چه اطلاعاتی هست که در این سطح دیده می‌شود.

حالا برگردم سراغ گرافم. اگر من بخواهم آنالوژی به کار ببرم، این‌ طوری است که برای این که این حرف‌ها را بتوانیم برای گراف بزنیم من به یک بازه احتیاج دارم تا از مسیر بتوانم حرف بزنم. بعد به مربع و مکعب و این‌ها نیاز دارم. پس باید یک ضرب هم داشته باشم که از بازه مربع و مکعب بسازم. یک جزئیاتی هم این وسط باید داشته باشم برای این‌ که این‌ها گروه تشکیل بدهند. مثلا این که بازه را بشود به هر اندازه تقسیم کرد به بازه‌ها. خب بازه که به نظر روشن است و باید یک یال باشد. دو رأس که یک خط بینشان است. اما یک یال را نمی‌شود تقسیم کرد. پس بازه را چه در نظر بگیریم. خب روشن است که بازه را باید یک مسیر نامتناهی از هر دو طرف در نظر بگیرم. یعنی خود ℤ را در نظر بگیرید، مثلا با خط‌هایی بین نقاط پشت سر همش. این یک گراف است. یک همچنین چیزی در نظر بگیرید. خب ضرب چه؟ ضرب را هم بگیرید ضرب معمول دو گراف دیگر. مثلا من اگر دو تا یال داشته باشم ضربش می‌شود مربعی که قطرهایش را نکشیده‌اید. سه بعدی هم می‌شود تصور کنید و الی ماشاءالله. حالا من ضرب را دارم، بازه هم دارم. می‌ماند توابع بین گراف‌ها که به کمک آن بتوانم تصاویر بازه را در گراف به عنوان آنالوگ مسیر در نظر بگیرم. خب نگاشت بین دو گراف تابعی است از رئوس به رئوس که متصل‌به‌هم‌ها را ببرد به متصل‌به‌هم‌ها اما بعضی وقت‌ها هم بتواند دو تا چیز متصل به هم را کلپس کند به یک نقطه. پس دو تا چیز که متصل به هم هستند می‌روند به دو تا چیز که یا متصلند به هم یا منطبق بر هم. این برای این‌ است که گاهی مسیرتان بتواند مکث کند.حالا هر نگاشتی را از این بازه‌ی دراز من به درون گراف در نظر بگیرید در واقع یک مسیر است به همان معنی معمولش، منتها بعضی‌ وقت‌ها هم مکث می‌کند. مثلا گام به گام می‌رود. یک جاهایی می‌ایستد دوباره راه می‌افتد. همان‌طور که انتظار از یک مسیر معمول داریم. اگر این کلپس را نگذارم، آن‌ وقت هیچ وقت مسیر نمی‌ایستد. واضح است که مسیرم خوشگل نمی‌شود. حالا می‌توانم از هموتوپی هم حرف بزنم. چه‌طوری؟ می‌گویم یک گراف را در نظر بگیرید و دو مسیر مختلف بین دو نقطه. می‌بینم این مسیرها را می‌شود با نگاشتی از یک مربع که ضرب بازه در بازه است پر کرد یا نه. اگر عادت نداشته باشید این‌طور فکر کنید، این مربع شما را گیج می‌کند. برای این‌که ساده‌ترش کنم، بگذارید معادل دیگرش را بگویم. گفتم هموتوپی را می‌شود یک مربع دید یا تصور کرد یک مسیر را نرم تبدیل می‌کنیم به یک مسیر دیگر. دو تا مسیر در گراف داریم. یکی را بالا و یکی را پایین تصور کنید.  پایینی یک لحظه‌ی اول دارد. بالایی هم یک لحظه‌ی اول دارد. پایینی یک لحظه‌ی دوم دارد و بالایی هم یک لحظه‌ی دوم. الی لحظه‌ی n-ام. این که مسیر بالا به شکلی نرم به پایینی تبدیل می‌شود یعنی این‌ که لحظه‌ی اولشان به هم وصل است، لحظه‌ی دومشان به هم وصل است و الی آخر. این یعنی هموتوپی. الآن من می‌توانم سوراخ‌های گسسته را در نظر بگیرم. می‌توانم بازی کنم با این. مثلا همان‌طور که آن‌جا صفحه در حد هموتوپی یک نقطه بود، این‌جا اگر من یک ستاره داشته باشم با یک نقطه هیچ فرقی نمی‌کند. می‌شود آرام آرام این ستاره را جمع کرد روی نقطه. دورهای به طول سه یا چهار را هم می‌شود به یک نقطه کاهش داد که دیدنش سخت است. اما از دورهای به طول پنج به بالا داستان شروع می‌شود. آنی که این‌جا معادل سوراخی است که نمی‌شود پرش کرد، از پنج شروع می‌شود. این یک تفاوتی است که اگر گراف را بکنید فضای توپولوژیک نمی‌بینید. یک فرق بی‌مزه‌ای است، اما در بعد‌ یک تنها فرق معنی‌دار بین این نسخه‌ی گسسته و نسخه‌ی توپولوژیک همین است. حالا می‌شود درباره‌ی سوراخ‌های مرتبه‌ی بالاتر هم حرف زد. همان‌طور که گفتم می‌شود از بُعدهای بالاتر هم حرف زد و پرسید در آن بُعد بالاتر چه‌ چیزهایی مثل هم هستند که آن سخت‌گیرانه‌تر است. حالا چرا همین کارها را نتوانستیم با کلک  "تبدیل کن به فضای توپولوژیک" بکنیم؟ می‌توانستیم این سه و چهار را نبینیم اگر بعد‌ یک بود و بعد این ها یکی هستند. یک قضیه‌ای هست که می‌شود این‌ها را به هم تبدیل کرد. کافی است نمودار گراف را بکشید در فضای حقیقی و هرجا گراف مثلث یا مربع داشت را یک مربع و مثلث توپر بگذارید آن جا و سوراخ را بپوشانید. آن وقت هموتوپی توپولوژیک این فضا معادل هموتوپی گسسته‌ی گراف داده شده می‌شود. بنابراین شما می‌توانید بگویید این همه مسخره‌بازی درآوردی و این‌ همه زبان ریختی که آنالوژی مهم است. خب بیا این‌ که همان است. به خاطر سه و چهار معامله را به هم نزن. درست می‌گویید. اما در ابعاد بالاتر قصه فرق می‌کند. در ابعاد بالاتر آنی نسخه طبیعی است که بر اساس آنالوژی نوشتیم. باز هم می‌شود یک فضای طبیعی به گراف نسبت داد، که الان نمی‌گویم چیست. به امید این‌ که یک هموتوپی در این بشود هموتوپی گسسته‌ی گراف که واقعا یک پل مستقیمی‌ بزنیم بین توپولوژی و گراف. این پل سال‌ها باز بود. اصلا آسان نبود. چون اساسا این دو تا با هم یک فرق‌هایی می‌کنند. خب تازگی‌ها یکی دو سالی است که ثابت شده. دست کم دو نفری ثابت کردند. می‌خواهم بگویم این بدیهی نیست که این دو تا یکی هستند یا می‌شود به هم تبدیلشان کرد. گاهی این پل‌ها را می‌شود ساخت و گاهی نمی‌شود. مهم این است شما آنالوژی را یاد بگیری و بیایی مستقلا دولوپ کنی.

امیرحسین اکبرطباطبایی: آنالوژی و راززدایی در هموتوپی- من درباره‌ی هموتوپی توپولوژیک و هموتوپی گسسته و ارتباط بین این‌ها که خب کار آسانی نبوده حرف زدم. و این‌ که آنالوژی ارجح است به تبدیل مستقیم. چون تبدیل کردن یک سری junk اضافه می‌کند که کار را گاهی آسان می‌کند اما تصویر و فهم را مخدوش می‌کند. گاهی هم اصلا تبدیل ممکن است طبیعی نباشد و کار را سخت‌تر هم بکند. کار معقولی هم نیست. وقتی به شما یک کانتکست گسسته داده‌اند، گسسته مسئله‌ات را حل کن. چرا باید تبدیل کنی به چیز دیگر؟ نگاه کن ببین آن‌جا چه‌ کار کردی. ایده را بیاور، نه نتیجه را. حالا اگر شما زرنگ باشید بو می‌برید که این فکر خوبی است. اگر یک موجود ریاضی در هر خانواده یا کتگوری از موجودات ریاضی را به من بدهید، اصلا جبر یا حلقه بدهید، خوب است که توپولوژیک درباره‌اش فکر کنم و دنبال هموتوپی و سوراخ بگردم. برای این کار باید یک چیزی داشته باشم عین بازه که بشود تقسیمش کرد. بعد یک ضرب طبیعی هم می‌خواهم که بتوانم بازه‌های مراتب بالاتر درست کنم. بعد اگر نگاشت‌هایی که از این مکعب‌ها می‌روند به داخل شی مورد نظر در نظر بگیرم می‌ رسم به هموتوپی‌ها. می‌توانم این ایده را ببرم این‌طرف و آن‌طرف استفاده کنم. این فکر تراز اولی است حقیقتا. فکر خیلی خوبی است. یک نمونه‌ی نابدیهی که می‌شود این‌ را استفاده کرد، در دنیای هندسه‌ی جبری است. این‌جا می‌توانم سوراخ‌های یک واریته را اندازه بگیریم. منتها کاری که باید بکنیم این است که به طور محض جبری فکر کنیم. از بحث قبل درس گرفته باشیم و کار بد را نکنیم که بخواهیم به زور یک واریته را بکنیم یک فضای توپولوژیک و ببریم آن‌جا فکر کنیم درباره‌اش. باید آنالوژی را برداریم بیاوریم. آنالوژی، یعنی آقا شما در همه‌ی سطوح همان‌طور فکر کن که در آن دیسکورس فکر می‌کنی. یعنی آن‌جا گسسته فکر می‌کردی، این‌جا باید جبری فکر کنی. مثلا در هندسه‌ی جبری بحث صفرهای چندجمله‌ای است و همه چیز جبری است. پس بازه و ضرب و نگاشت و سوراخ‌هایت همه باید جبری باشند. حالا آیا واقعا می‌شود از این کارها در هندسه‌ی جبری کرد؟ بله. نقش بازه را این‌جا کی باید بازی ‌می‌کند؟ خط آفین. خب این‌جا سر و ته دار و این ها نیست بازه. مثلا فرض کنید همه کارهایتان را دارید روی یک میدان F می‌کنید پس این F بازه‌ی شماست. ضرب هم همان ضرب معمولی است. نگاشت‌هایتان هم البته باید نگاشت‌های جبری بین واریته‌های روی F باشد. همه حرف‌هایی که من این‌جا زدم را دوباره باید بنویسید. حالا شما دارید سوراخ‌های جبری را در موجودات جبری پیدا می‌کنید. این اگر خیلی در شکل درستش که درباره‌ی اسکیم است به جای واریته نوشته بشود، با اساسا همین ایده، یک جور هموتوپی تئوری حاصل می‌شود که به آن موتیویک هموتوپی تئوری می‌گویند. این موتیو هم ربط دارد به چیزی که از موتیو ممکن است شنیده‌ باشید، از آن‌هایی که گروتندیک پیدا کرده و مثلا وئودسکی دولوپ کرده و برایش فیلدز هم گرفته.

حالا شما ممکن است بگویید اگر این هموتوپی همه جا ظاهر می‌شود خب برویم شکل ابسترکت این بحث‌ها را بنویسیم و یک تئوری مادر درست کنیم. این هم فکر خوبی است. یک شی در نظر بگیرید در یک کتگوری که باید مطالعه شود. مثل گراف و فضای توپولوژیک که داشتیم. بعد ببینید چه زمانی یک شی رفتاری دارد که انگار یک بازه است. به آن شی می‌گویند یونیت آبجکت. حالا ضرب هم که داشته باشی، می‌توانی آن تئوری بزرگ را بنویسی. طبیعتا لاغر و این‌ها می‌شود. برای این‌که جنرال داری می‌نویسی. یک عالم شرط‌های مختلف باید بگذاری و جورهای مختلفی هم می‌توانی بنویسی. برای این‌ که به شما نشان بدهم که جورهای مختلف می‌شود نوشت، یکی این است که می‌گویی آبجکت برای این‌ که نقش بازه را داشته باشد، باید فلان ویژگی‌ها را داشته باشد. یکی می‌گوید این ویژگی‌ها زیاد است و دست و دل باز انتخاب شده، یک جورهایی دستی است. یکی دیگر می‌گوید این ضرب و این‌ها که می‌گویید بیخود است. شما کافی است به من همه‌ی مکعب‌های از هر بعد را یکجا بدهید. دیگر لازم نیست بازه را بدهید و بعد ضرب را بدهید‌. یکی ممکن است بگوید: چرا مکعب را به من می‌دهید؟ که بعد باید نگاشت‌هایی از مکعب به شی را بگیرم. شما باید همان نگاشت‌ها را مستقیم بدهید. یعنی بگویید آقا ما به این‌ها می‌گوییم مسیر در شی و به این‌ها می‌گوییم مربع در شی و غیره.

حالا البته من این را بهانه کردم و بحثم خیلی ریاضیات گسسته نداشت، ولی خب این حرف مهمی‌ است. ممکن است بگویید آقا این هموتوپی ابزار خوبی است و اتفاقی نیست، چون نداشتن دیتا را به شما نشان می‌دهد. حالا معمول این است با نسخه‌های آسان‌تر از این نداشتن دیتا را اندازه می‌گیرند. ولی نداشتن دیتا مهم است که یک چیزهایی که باید موجود نیست. شما این نداشتن را می‌توانی اندازه بگیری. مثلا شما یک موجود گسسته دارید که بلاک دیزاین نیست چون یک ذره غلط است. سوال این است که چه چیز نمی‌گذارد این بلاک‌دیزاین بشود؟ چه‌قدر با یک بلاک‌دیزاین واقعی فاصله دارد؟ این‌ها را می‌شود اندازه گرفت دیگر. این ایده‌های هموتوپی تئورتیکال که فقدان ساختار را اندازه بگیریم و ماشین برایش داشته باشیم و معنی به آن بدهیم مهم است. این کار خیلی مهمی‌ است که باید ریاضی‌دان گسسته یاد بگیرد موجودات گسسته را که مطالعه می‌کند این‌ها را هم در نظر بگیرد. حالا گراف خیلی تابلو یک موجود هندسی است، ولی بعضی‌هایشان موجود هندسی هم نیستند. این باید یاد بگیرد فکر کند که این نداشتن دیتا را چطور اندازه بگیرد. مثلا در داده‌های بزرگ به این فکر می‌کنند که شکل دیتا مهم است. سوراخ‌های دیتا را اندازه می‌گیرند. دقیقا با همین تکنیک. مثلا خیلی هم می‌فروشند که آخ ما داریم چه دانشی را هوا می‌کنیم و این‌ها. خلاصه همین فکر را برده آن‌جا اپلای کرده. این مهم است که شما فکرها را یاد بگیری و ببری جای دیگر‌ی استفاده بکنی بر اساس آنالوژی.

حالا آخرین چیزی که می‌خواهم بگویم این است که حالا که این هموتوپیک فکر کردن این قدر چیز خوبی است و این‌ طرف و آن‌ طرف به درد می‌خورد، باید حتما چیز عمیقی باشد. بنابراین باید از ظهور مداومش راززدایی کرد. این کافی نیست که ما سوراخ‌ها را پیدا می‌کنیم یا فقدان یک ساختار را اندازه می‌گیریم. این خوب است، اما هیچ معنی فلسفی عمیقی ندارد که آن‌قدر این‌طرف و آن‌طرف ظاهر بشود. این یعنی که بگوییم هموتوپی یک تکنیک خیلی خوب است. اما امروزه می‌دانیم که این تنها یک تکنیک نیست. یک جور نگرش است و این‌ نگرش موجی به راه انداخته که دارد همه‌ی ریاضیات را درمی‌نوردد. بنابراین باید پی برد که راز این مطلب چیست. برای این راززدایی باید برگردم به همان هموتوپی کلاسیک. می‌گویم ببین هموتوپی کلاسیک را می‌شود یک جور خاص جالبی خواند. فرض کنید نقطه‌های یک فضا موجوداتی هستند و مسیرهای بین دو نقطه اثبات‌ها و شاهد‌های مختلفی هستند که این دوتا چیز یکسانند. اگر مسیری بین دو نقطه نباشد این دو چیز نامساویند. اما اگر مسیری باشد و نقاط مساوی باشند آن وقت ممکن است اثبات‌های مختلفی از این تساوی موجود باشد یعنی ممکن است مسیرهای مختلفی در فضا بین دو نقطه موجود باشد. حالا خود این اثبات‌های مختلف از تساوی دو چیز می‌توانند مساوی باشند یا نباشند. مربع‌هایی که بین دو مسیر را پُر می‌کنند اثبات‌های مساوی بودن این دو تا روش مختلف اثبات خواهند بود و اگر سوراخی آن وسط باشد یعنی این دو اثبات واقعا مختلفند. در هر سطحی اگر دو اثبات مساوی‌سازی یکسان باشند اثبات تساوی آن‌ها خودش موجودی از مرتبه‌ی بالاتر است و الی آخر. حالا شما ممکن است از اثبات مساوی بودن خوشتان نیاید و بگیرید آیدنتیفیکیشن، که دوتا شی در ریاضی یکی هستند. اما اشیا به شیوه‌های مختلفی می‌توانند آیدنتیفای بشوند. مثل دو تا مثلث را در فضای اقلیدسی می‌شود به روش‌های مختلفی چرخاند و گذاشت روی هم. حالا دو روش ممکن است با هم یکسان باشند یعنی یکی را بشود به دیگری به شکلی هندسی تبدیل کرد یا نه. برای یک مثال دیگر می‌توانید به عبارت‌های جبری فکر کنید. آن وقت روش‌های محاسباتی‌ مختلفی می‌توانند وجود داشته باشند که نشان دهند این دو عبارت یکسانند. حالا ممکن است این دو روش اساسا یکسان باشند و خود این مطلب یک اثباتی می‌خواهد. حالا چرا هموتوپی مهم است؟ چون هموتوپی دارد این ایده را کپچر می‌کند که ما یک اشیایی داریم و یک ایزومورفیسم‌هایی داریم بین این‌ها و یک ایزومورفیسم‌هایی بین ایزومورفیسم‌ها و همین طور تا بی‌نهایت. و آن کانتکست ابسترکت که می‌گویم در آن هموتوپی بنویسیم چیزی نیست جز نظریه‌ای درباره‌ی همه‌ی این ایزومورفیسم‌ها یا به تعبیر دیگر چیزی نیست جز یک نظریه درباره‌ی تساوی. این، راز این‌ است که که چرا هموتوپی تئوری همه جا ظاهر می‌شود. ما هر دیسکورسی که در ریاضی برداریم، یک مفهوم یکسانی آن پشت هست که ما در حد آن  در نظر می‌گیریم همه چیز را. گاهی لازم است و مجبور می‌شویم یکسانی بین این یکسانی‌ها را هم در نظر بگیریم. آن‌ها هم برای ما به دلایلی مهم هستند مثلا. اگر شما از یک جایی به بعد این یکسانی‌ها را در نظر نگیرید، آن دیگر سلیقه‌ی شماست، ولی عجیب نیست اگر قرار باشد که وقتی تساوی گسسته‌ی دو گراف یا تساوی جبری دو گروه را داشتیم تساوی گسسته بین تساوی‌های گسسته‌ی گراف‌ها یا تساوی جبری بین تساوی‌های جبری گروه‌ها را هم داشته باشیم و غیره. خلاصه این که هموتوپی تئوری همه جا هست چون تساوی همه جا ظاهر می‌شود و هموتوپی تئوری فهم تساوی در همه‌ی سطوح است. حالا سوراخ چیست؟ یک سوراخ دوبعدی دارد نمایندگی می‌کند که این دو تا چیز که با هم مساوی‌اند به دو شکل مختلف با هم مساوی می‌شوند و همین طور برای سوراخ‌های مراتب بالاتر. سوراخ، در واقع فقدان تساوی است. خیلی طول کشید که مردم فهمیدند در ریاضی آیدنتیفیکیشن و مورفیسم و این‌ها مهم است. فقط اشیا مهم نیستند. آیدنتیفیکیشن‌های بینشان هم مهم است که ما را بُرد به کتگوری تئوری. امروزه ما یاد می‌گیریم به دلایل عدیده‌ای، به لحاظ فنی در ریاضی، آیدنتیفیکیشن مراتب بالاتر هم مهم است که ما را رسانده به هایِرکتگوری تئوری. این نسخه هایِر نگاه کردن به همه چیز، سر و کله‌اش این‌جور جاها پیدا می‌شود. هموتوپی تئوری، مثال آموزنده‌ای از آنالوژی است، از گسترش دادن مفاهیم است، از پیدا کردن نظریه‌ی مادر است. و وقتی که حضورش زیاد شد مثال خوبی از راززدایی است. وقتی شما آن راز را درباره آیدنتیفیکیشن فهمیدید، یک‌هو دنیایتان بزرگ می‌شود. تا قبل آن از نوتِر و دیگران یاد گرفتیم وقتی جبرها مهم هستند، هم‌ریختی‌های بینشان هم مهم است. این یک حرف است. این‌ که یاد بگیری که وقتی اشیای ریاضی را مطالعه می‌کنی، آیدنتیفیکیشن‌های بینشان هم مهم است و آیدنتیفیکیشن‌های بین آن‌ها الی آخر امر دیگری است. این هم از این قصه‌ی من.

دانلود

گفتگوهایی دربارهٔ زبان ریاضی در برابر زبان بشری؛ امیرحسین اکبرطباطبایی، جعفر خداقلی، آرش رستگار، مهرک شیرخانی، سامان فرحت، سام نریمان

پیاده‌سازی و بازنویسی: محمدحسین نادری، سامان فرحت

آرش رستگار-طرح مسئله: من یک سوال جدید دارم که دانشجویی سر کلاس پرسیدند و من گفتم که حرف هایی می توانم بزنم و لال نیستم. ولی دوستان خوبی دارم که آن‌ها می توانند خیلی قشنگ تر از من جواب بدهند. این بود که با شما خواستم مشورت کنم و سوال من این است. یک طرح سؤال است. دانشجویی به اسم محمد حسین نادری که دو رشته ای ریاضی و فیزیک در مقطع کارشناسی است، سر کلاس فلسفه ریاضی این سوال را پرسیده‌اند. سؤال این است که چرا زبان های بشری اینقدر diverse هستند؟ ما چهار هزار زبان زنده داریم. زبان های ریاضی در مقابل اینقدر محدود هستند. چرا یک تئوری پنج یا شش فرمول‌بندی بیشتر ندارد؟ و من احساس می کنم این سوال خیلی قشنگی است. می توان جواب ساده‌ای به او داد که قانع شود، اما به نظر من این سوال می تواند معرفت تولید کند. لطفا شما هم در همین جهت پاسخ بفرمایید.

 

امیرحسین اکبرطباطبایی-بازخورد اول: من کمی فکر کردم و عقلم به چیزی که نابدیهی باشد و ارزش گفتن داشته باشد نرسید. حرفی که بالاخره چیزی در آن وجود داشته باشد. و این‌که واقعا سوال خوبی است. سوال خوشمزه ای است. هم از لحاظ فلسفی، هم به لحاظ کنجکاوی محض، و هم این‌که خیلی سوال با نمک و دوست داشتنی است به نظرم. و اگر این طور به آن نگاه کنیم عجیب است که در ریاضی این‌قدر تعداد زبان‌ها کم هست. حالا این که اصلا زبان در ریاضی چیست، خودش بحثی است، ولی هرچه که هست تعداد آن ها کم است. بیان‌های مختلفی که از چیزی در ریاضی داریم، چه هندسی یا جبری یا غیره، نهایتاً سه الی چهار تاست. و اگر این تعداد در موضوعی سه باشد به فرض، خیلی اتفاق بزرگی است، و این معنی را می‌رساند که واقعا نظریه خوبی است که این تعداد بیان های مختلف دارد، و این نشان می‌دهد که خیلی تعداد زبان‌ها در ریاضی محدود است. اما من عقلم به جز دلایل بدیهی جامعه شناختی و غیره، به چیز جالبی که خودم از دست پیدا کردن به آن خوشحال شوم نمی رسد. حالا اگر شما پیدا کنید، حتما به من هم منتقل می کنید. در هر صورت گفتم با این‌که فعلاً چیزی ندارم، حداقل یک واکنشی نشان بدهم. اگر قرار باشد بیشتر از این فکر کنم، بعید است که به نتیجه ای برسم. گفتم فعلا بیایم و تسلیم شوم تا بعد اگر شما ایده ای داشتید، بگویید و ما هم یاد بگیریم.

 

سام نریمان-اندکی در باب زبان بشری و اندکی در باب زبان ریاضی: من امیدوار بودم که دکتر رستگار و دکتر طباطبایی یا باقی دوستان، که به هر حال در فلسفه ریاضی و منطق غور کرده‌اند، جواب بدهند. من در این زمینه اطلاعات دست چندم دارم. یعنی اطلاعاتم غالبا یا از جنس کنجکاوی‌های شنیداری است، یا چیزهای جسته گریخته است و در نتیجه صلاحیتی برای کسی که بخواهد نظر صائبی داشته باشد ایجاد نمی کند. صرفا برای خالی نبودن عریضه، می‌خواهم چیزی بگویم که بیشتر از جنس طرح سوال یا دقیق تر کردن سوال باشد، و امیدوارم که منجر به گفتگوی بیشتر بشود. از این منظر چند نکته به نظرم رسید که احتمالا بدیهی باشند. و خواستم که به هر حال طرح کنم. نکته ی اول این که سال‌ها قبل مصاحبه‌ای از فریمن دایسون می‌دیدم که در آن به سری تحقیقاتی اشاره داشت از زبان‌شناسی به اسم جروم لوییز. در آن مصاحبه ذکر شد که مبدأ یا در واقع منشأ زبان در انسان، از دید Evolution (یا  فرگشتی) به موسیقی و نوا بر می گردد. یعنی صدا آن چیزی است که قبل از زبان مطرح بوده است. برای همین، به معنایی، زبان خیلی، خاستگاهی از جنس colloquial دارد، یا خیلی حالت محاوره دارد. صدا نقش مهمی در آن دارد. ما انسان‌ها تنوع صدا و موسیقی داریم، بر اساس این‌که انسان در کدام اقلیم بوده، و با چه معیشتی زیست کرده، چه صداهایی می‌شنیده، و چه بخشی از طبیعت را تجربه کرده. از این منظر، یک بخش قابل توجه از زبان‍‌ها ویژگی محاوره‌ای دارند، و نوشتن در آن امری ثانوی است. حتی تجربه ی نوشتن هم در ادامه این‌طور بوده که آدم‌ها می نشستند و دور خوانی می کردند. یعنی با صدای بلند خواندن و شنیدن چیزی که قبلاً نوشته شده، معنی می‌دهد. حال اگر ریاضی را نیز بخشی از زبان یا زبانی جدا بدانیم، نمی‌توان حالت شنیداری آن را تصور کرد. ریاضی صدا ندارد. قطعاً می‌توان گفت که origin (مبدأ) آن نوا نیست. اگر از منظر تاریخی و فلسفی بخواهیم نگاه کنیم که قطعا شما بهتر می‌دانید، ولی باز اگر بخواهم همین‌طور سطحی چیزهایی در این زمینه بگویم، این‌که ما چه ریاضیاتی تولید کرده‌ایم و چطور، قطعا باز به انسان بودنمان ربط دارد. به تجربه‌ای ربط دارد. به ترجمان دکتر سیاوش شهشهانی، احتمالاً مبدا ریاضی به فهمیدن کم متصل و منفصل ربط پیدا می‌کند، و این یعنی یعنی اندازه گیری. اندازه گیری چیز های گسسته و اندازه گیری چیز های پیوسته. به همین دلیل است که عدد و حساب و به معنایی اندازه گیری فاصله و هندسه و این قبیل موضوعات، چیزهایی هستند که ربطی به تجربه‌ی انسان از فضا-زمان دارند. در نتیجه، اندازه گیری چیزهای گسسته و پیوسته به گسترش ریاضی منجر شده، و می‌توان تصور کرد که احتمالا از ابتدا نوشتاری بوده، و نه شنیداری. به طور مثال، ریاضی را نمی توان دور خوانی کرد! نمی توان ریاضی را شنید! نمی‌دانم شاید شما بگویید ریاضی را می‌شنوید! ولی به نظرم یکی از تفاوت‌های اساسی زبان ریاضی و زبان بشری این است. نکته‌ی بعدی این است که به نظر من فرمول‌بندی و زبان متفاوت هستند، و در سوال اولیه‌ای که دکتر رستگار پرسیدند این موضوع مشخص نبود. به طور مثال، می‌دانیم که کلمات متفاوتی در زبان‌های مختلف گفته می‌شود که عملا ارجاع به معنای واحدی هستند و فقط خود کلمه فرق می کند. این تفاوت به معنی فرمول‌بندیِ متفاوت نیست. در نتیجه در همه‌ی چند هزار زبانی که می‌دانید وجود دارند، احتمالا لغتی برای مادر دارند، ولی کلمه‌ها فرق می‌کند و متفاوت شنیده می‌شود، و  این به معنی فرمولبندی متفاوت از مادر نیست. یعنی درک متفاوتی از مادر نمی‌دهند. همه‌ی آن ها به یک چیز اشاره می کنند، و احتمالا ادراکات مشابه دارند. از طرف دیگر، وقتی از فرمول‌بندی های متفاوت در ریاضی صحبت می‌کنیم، یعنی واقعاً آن ها درک متفاوتی از یک object ارائه می‌دهند. مثالی که خودم به آن خیلی علاقه‌مند هستم و فکر می کنم مثال خیلی خوبی است، moduli space های Reimann surface ها یا فضای پیمانی رویه‌‍های ریمانی هستند. این یک object است که به عنوان یک موجود، بسیار جذاب است، و در تعداد زیادی از زیرشاخه‌های متفاوت ریاضی، اعم از نظریه اعداد، هندسه جبری، توپولوژی جبری، نظریه‌ی گروه‌ها، هندسه دیفرانسیل، نظریه‌ی هندسی گروه‌ها و هندسه‌ی مختلط مورد مطالعه قرار گرفته است. در هر کدام با ابزار های مختص به آن زیرشاخه، این آبجکت خاص را مطالعه کرده اند. هر کدام از آن‌ها، واقعا یک بخشی از این object را روشن کرده‌اند، و روی هم‌دیگر اثر هم گذاشته اند. مثلا چیزی که با ابزار توپولوژی جبری دیده شده، بعدا در هندسه جبری استفاده شده. و یا حدسی وجود دارد که در ابتدا در هندسه جبری توسط مامفورد زده شده است، و بعدها با ایده های homotopy theory در moduli spaces ثابت شده است. این فرمول‌بندی‌های متفاوت از یک object که منجر به بصیرت شده است، با این ویژگی زبان بشری متفاوت است که صرفا بگوییم واژگانی متفاوتی برای بیان کلمه مادر در زبان‌های مختلف وجود دارند(mother یا mutter). با این دید می توان صورت سوال را دقیق کرد. ممکن است که منظور از فرمول‌بندی این نباشد. مثلا این‌که بگوییم فرهنگ‌های مختلف در ریاضی وجود دارد. شوروی سابق فرهنگ ریاضی خودش را داشته که واقعا نوع ریاضیات تولید شده‌ی آن متفاوت بوده، و آن با نوع ریاضیاتی که آلمان تولید می‌کرده متفاوت بوده، و هر دو با ریاضیاتی که فرانسه تولید می‌کرده متفاوت بوده‌اند. در طرف دیگر دنیا، و بعد ها در آمریکا، نوع دیگری از ریاضیات تولید شده. مثلا اگر با geometric group theorist ها صحبت کنید، ریاضیاتی با نوع استدلال شکلی در آن‌جا خیلی بیشتر رشد کرده و این به خاطر فرهنگی است که ترستن در آمریکا رشد داده. آیا منظور ما از فرمول‌بندی و زبان ریاضی این نوع خرده فرهنگ‌هایی هستند از جنس این‌که آدم‌ها چطور به ریاضی نگاه کردند و توانسته‌‍اند بصیرتی تولید کنند؟ یا این که منظور ما نگاه کردن به یک object با دیدگاه‌های مختلف است؟ این آن چیزی است که شاید برای این‌که سوال دقیق‌تر بشود، لازم باشد مشخص بیان شود.

 

آرش رستگار-در باب لزوم مراجعه به شاخه‌های دیگر معرفت: حرف‌های دکتر نریمان من را به فکر فرو برده است و دارم سعی می‌کنم option های مختلفی که بتوانیم بین عناصر مختلف زبان ریاضی و زبان بشری تناظر برقرار کنیم، را بررسی کنم تا ببینم عواقب هر کدام چیست، و به این نتیجه رسیدم که این دو مثال کافی نیستند. با فیزیک‌دان ها هم دوست دارم مشورت کنم. ولی فیزیک‌دان‌ها با این‌که حرف‌های متفاوتی به نسبت ریاضی‌دان‌ها دارند که بزنند، ولی فضای نزدیکی به ریاضیدانان دارند. بنابراین، قبل از این که با یک فیزیک‌دان مشورت کنم، برای این که به نکاتی که دکتر نریمان مطرح کردند عکس العمل نشان بدهم، گفتم دوست دیگری را پیدا کنم که هم ریاضی دان باشد و هم تئوری موسیقی در حدی که تئوری‌پردازی چشیده باشد، بداند، که بتوانم از او بپرسم که ما به ازای این بحث‌ها در موسیقی، چه کلاسیک و چه سنتی ایرانی، چیست؟ مثلا ما به ازای زبان بشری در موسیقی چیست؟ یا برعکس دستگاه‌های موسیقی سنتی در زبان بشری با چه مفاهیمی می‌توانند متناظر شوند؟ یا مثلا گوشه‌ها در دستگاه های مختلف موسیقی با چه مفاهیمی در زبان بشری مقایسه می‌شوند؟ دیدن جواب این سؤالات مقداری ذهن من را پخته‌تر می کنند. و البته حواسمان باشد که موسیقی برای این سؤال مقداری غنی است. چرا؟ چون ظاهر این است که موسیقی هم حروف و کلمه دارد، مثلا ریتم یا چیزهایی شبیه به این می توانند کلمه باشند. اما به نظر من موسیقی در عین این که ساختار‌هایی دارد، ابعاد فراساختاری آن یا ابعادی که فرم یا صورت یا عالم رسم هستند، غلبه دارند. به لحاظی عمیق‌تر از مفهوم زبان است، و از لحاظ دیگر به این دلیل که از ساختار زبان خارج می‌شود، فهم دقیق‌تری از مفهوم زبان به ما می دهد. در نتیجه، دنبال فردی گشتم که این خصوصیات را داشته باشد. معادلات دیفرانسیل یک جواب خوب داد و آن هم یک دوستی است به اسم سامان فرحت. هم می‌آید و کار ما را سامان می‌دهد، هم اسمش به سام نریمان می خورد، هم به معنای اتم آن خیلی خوشحال است و ما را خوشحال می کند، هم تئوری موسیقی می‌داند، و  هم ریاضی را چشیده است. شاید لزوماً نتواند همه‌ی جزئیات فضاهای moduli of algebraic curves را دنبال کند. اما دیالوگ ما را حتما خیلی عمیق و خوب دنبال می‌کند. از طرفی مطالعات عرفانی هم دارد، و برای من که دوست دارم که صورت بورزم، این خیلی خوب است. بنابراین می‌خواهم از ایشان دعوت کنم که در مورد موسیقی صحبت هایی کند، تا من ببینم که بعد از آن خواهم توانست فکر با ارزشی تولید کنم، یا مجبور خواهم بود با یک فیزیک‌دان هم مشورت کنم. الی اللقاء! یعنی به امید دیدار! البته لقاء بیشتر از دیدار است. وصل است. اگر دیدار مثل عین الیقین باشد، لقاء مثل حق الیقین است. بنابراین شاید الی القاء بهتر باشد از به امید دیدار.

 

سامان فرحت-در باب زبان موسیقی: ممنونم از دکتر رستگار که من را به این جمع دعوت کردید. خیلی خوشحال هستم که در جمعتان هستم. دو مقاله‌ی مربوط به فرم در ریاضی و فرمالیسم که محصول صحبت‌های دکتر رستگار و دکتر نریمان و دکتر طباطبایی است را خوانده‌ام. افتخار آشنایی با دکتر طباطبایی را نداشته‌ام، ولی سام عزیز را از زمان باشگاه دانش پژوهان مدت‌هاست می‌شناسم. خیلی خوشحال هستم که موقعیتی فراهم شد که این آشنایی عمیق‌تر بشود و بیشتر بتوانیم با هم صحبت کنیم. این بحث هم بسیار بحث جذابی است. لازم است که بگویم که خیلی مطالعات خاصی در زمینه موسیقی، عرفان و ریاضی در حال حاضر ندارم، و صرفاً علاقه‌مند به این مباحث هستم. یک چیزهایی به ذهنم می‌رسد. ابتدا متنی که ارتباط بین ریاضی، موسیقی و حرف‌هایی که می‌خواهم بزنم را تا حدی مشخص کند، را می‌فرستم. البته جزئیاتی دارد که شاید مستقیم به بحث ما مربوط نباشد. سعی می‌کنم چیزهایی که در مورد موضوع بحث به نظرم می‌رسد را بیان کنم  و آن‌ها بیشتر از جنس سؤال هستند و نه جواب. لطفاً به صورت کلی به آن نگاهی بیندازید تا ارتباط بین ریاضی و موسیقی کمی روشن‌تر بشود و بعد از آن احتمالاً بتوانم واضح تر فکرم را توضیح بدهم. اجازه بدهید این‌جا یک پرانتز باز کنم و کمی درباره ادبیات موسیقی برای خواننده ناآشنا صحبت کنم. ریتم چیست؟ به ضربه های متوالی با فرایند تکرار شونده ریتم می گویند. نُت چیست؟ هر نُت دارای فرکانسی است که این فرکانس می تواند توسط ساز های مختلف نواخته شود. به طور مثال، نُت 440 هرتز را لا (A) می‌نامند. در حالت کلی، اگر فرکانس یک نت x باشد، 2yx به ازای y صحیح همان نُت می‌باشد، به شرط این‌که در بازه‌ی شنوایی ما قرار داشته باشد. مثلا 880 هرتز و 220 هرتز هم نُت لا هستند. 440 هرتز یعنی 440 ضربه در یک ثانیه. اگر ضربه متوالی در بازه های 1 ثانیه را ضبط کنید و 440 بار سریع تر پخش کنید نُت لا 440 به دست می آید. برعکس اگر نت لای نواخته شده توسط گیتار را 440 بار کند کنید، در هر ثانیه یک ضربه شنیده می‌شود. این مطلب ارتباط بین ریتم و نُت موسیقایی را معلوم می‌کند. شاید این سوال پیش بیاید که چرا در موسیقی از 12 نت در هر اکتاو استفاده می‌شود. به طور دقیق‌تر، در دنیای امروز،ُ نت های پیانو و سایر ادوات طوری تنظیم شده اند که یک اکتاو را بین فرکانس x  و 2x به 12 قسمت مساوی، به صورت لگاریتمی، تقسیم می‌کند. فرض کنید بین فرکانس 440 و 880 می‌خواهیم فرکانس‌های نت‌های موسیقی را به دست آوریم. بین لای 440 هرتز و لای 880 هرتز 12 نیم پرده وجود دارد. اگر ضریب a ضریبی در نظر بگیریم که یک نت را به نیم پرده بالاتر می‌برد، داریم:

 

پس اگر فرکانس 7 نیم پرده بالا تر را حساب کنیم می‌شود

 

که برابر نت "می" می‌شود. اما می‌دانیم که

 

 

در این‌جا نکته‌ی اصلی این است که این تقریب را موسیقی‌دانان از جایی به بعد پذیرفته‌اند. یعنی در زمان قدیم برای کوک کردن سازها دقیقا از 3/2 استفاده می‌شده و برای این‌که از گامی به گام دیگر بروند، نیاز بوده که کوک ساز ها عوض شود. این که چگونه این موضوع اتفاق افتاده، توضیح داده می‌شود. فرض کنید دایره‌ای به شکل زیر از 12 نت موسیقایی داریم:

 

 

شکل

 

از نُت دو (C) شروع می کنیم و هر بار فرکانس را در 3/2 ضرب می کنیم. در واقع هر بار برای رسیدن به نُت بعدی فرکانس را در 3/2 ضرب می کنیم و اگر از اکتاو خارج شد، با تقسیم بر ۲ کردن به اکتاو قبلی بر می‌گردیم. همان طور که ذکر شد، اگر فرکانس را در 3/2 ضرب کنیم، مانند این است که 7 نیم پرده بالا برویم.

 

شکل

 

دقت کنید که آخرین برش از B به F  شش نیم پرده است. scale به دست آمده همان 7 نُت سفید پیانو هستند. این scale اصلی ترین scale  در موسیقی غرب است و گام های مینور و ماژور با همین 7 نت ساخته می‌شوند.

C   D     E     F     G     A      B 

I    II     III    IV    V    VI     VII

اما 3/2 چه نقشی دارد؟ اگر سیمی را در نظر بگیریم که دو سر آن بسته شده باشد و آن را به ارتعاش در‌آوریم، در بسط فوریه آن هارمونیک‌های صحیح ظاهر می‌شوند و این خاصیت مختص سازهای سیمی است که دو سر سیم بسته شده باشد. لذا اگر نُت C و G که 7 نیم پرده یا 3/2 برابر فاصله‌ی فرکانسی دارند را با گیتار در یک زمان بنوازید، هارمونیک‌های C به صورت زیر خواهند بود، فرض کنید فرکانس C ، x باشد:

x,   2x,   3x,   4x, … ,

و برای G به صورت

3/2x ,   2x,   9/2x,   6x,   …

که  alignment زیادی خواهند داشت و برای گوش بسیار هماهنگ می‌نمایند. هر چه این نسبت فرکانسی کسر کوچک‌تری باشد، این هماهنگی بیشتر است و اصطلاحا نُت ها  consonant تر هستند.گفته شد که با نسبت 3/2 به scale نُت‌های سفید پیانو می‌رسیم، و دلیل این که 3/2 چه نقشی دارد گفته شد. اما چرا در موسیقی غرب به طور عمده از این scale استفاده می‌شود؟ دلیل اصلی، نوع سازهایی است که استفاده می‌شود. در دستگاه‌ های موسیقی شرق آسیا، به طور مثال ،ساز هایی وجود دارند که ضربه به میله‌های فلزی یک سر باز وارد می‌شود. یا صداهای الکترونیکی را می‌توان در نظر گرفت که هارمونیک‌های آن ها صحیح نباشد. در این صداها نواختن با فرکانس‌های نُت‌های سفید پیانو اصلا گوش نواز نخواهد بود! مثلاً در شرق آسیا، به صورت سنتی از scale های 17 نُتی استفاده می‌شود. مدل نُت‌نویسی غربی که در سده‌ی اخیر در موسیقی ایران هم رایج شد، فقط جواب‌گوی نوع خاصی از موسیقی است، و با اضافه کردن نماد‌هایی برای نشان دادن ربع پرده توانست جواب‌گوی موسیقی ایران باشد، آن هم فقط به جهت ضبط کردن قطعات روی کاغذ. بعید می‌دانم که توانایی خود اظهاری‌ای که این مدل نوشتار موسیقی در غرب داشته را بتواند در موسیقی ایرانی داشته باشد. شنیده‌ام که باخ برای شاگردانش تمرین‌های زیادی را روی کاغذ می‌نوشته. او احتمالاً شهودی از خود نوشتار می‌گرفته که اصل بوده و  منطبق بر مبدا این نوع نوشتار موسقی بوده. همان توانایی‌ها و شهود، لزوما در نوشتار غربی، برای موسیقی ایرانی جایی ندارد. چون این زبان برای موسیقی ایرانی اصل نیست. می‌توان موسیقی را از سه منظر زیر دید: 1- ریتم   2- ملودی   3- هارمونی. به ضربات متوالی و دارای ساختار از یک ساز در بستر زمان ریتم می‌گویند. ملودی در واقع قرار گرفتن نت‌های موسیقایی است روی یک ریتم، که رابطه ی ریتم و ملودی هم توضیح داده شد. هارمونی به ارتباط خط‌های ملودیکی گفته می‌شود که همزمان نواخته می‌شوند. اگر دو خط ملودیک موسیقی را در نظر بگیرید که همزمان پخش می‌شوند، هر کدام یک تشخص دارند و یک ریتم را مشخص می کنند، هر نُت با نُت بعدی فاصله‌ای دارد. این نوع ارتباط نُت ها در یک خط ملودیک را ارتباط افقی می‌نامند. از طرف دیگر نت‌های هم‌زمان با هم ارتباط عمودی! دارند. مثلاً در لحظاتی هم‌آهنگ‌تر هستند و اندازه‌ی هم‌آهنگی آن‌ها در طول زمان تغییر می‌کند. در موسیقی غربی، هارمونی بسیار پیشرفت کرده است، و علم هارمونی هم قدرت زیادی پیدا کرده. این می‌تواند به علت وجود نظریه پرداز‌های موسیقی که به این امر پردا خته اند، و یا شاید نوع نگاه انسان‌شناسی آن‌ها باشد. در مقابل، در موسیقی ایران بیشتر یک خط ملودیک جلو می‌رود که بازگشت های‌زیادی به نُت پایه دارد. حال به مدل سازی آکورد‌ها می‌پردازم: به تعدادی نُت که هم زمان نواخته شوند کورد گفته می‌شود. جدیدا یک موسیقی دان در دانشگاه Princeton مدلی هندسی برای نمایش کورد‌ها درست کرده است. در‌ واقع شکلی n بعدی تعریف می‌کند که محل زندگی کورد‌های n تایی است. با این مدل، اگر قطع‌ی موسیقی را به صورت توالی کورد‌ها تقسیم بندی کنیم، قطعه‌ی موسیقی معادل خواهد شد با تصور حرکتی روی آن شکل n بعدی، از نقطه‌ای به نقطه‌ی دیگر. این مدل نگاه به هارمونی در طول ۱۰ سال اخیر به درجه‌‌ی خوبی از پختگی رسیده است. می‌‌توان گفت قطعه‌هایی با این زبان و مدل فکری خلق شده‌اند که خلق آن‌ها قبل از اختراع این زبان، تقریباً غیر ممکن بوده است. حال چیزهایی که به ذهنم رسیده را با شما در میان می‌گذارم تا بحث به شکلی جلو برود. اولا تفاوت موسیقی شاید این باشد که ذاتش ساختارشکنانه است. مثلاً در ملودی، هر نُتی در تعارض با نُت قبلی معنی می‌دهد. اگر در ابعاد بزرگ‌تر به قطعه‌ای از موسیقی نگاه کنیم، و هر واحد را یک کورد (مجموعه‌ای از نُت‌ها) در نظر بگیریم، در قسمت بعدی طبق chord progression ای به مجموعه نُت دیگری منتقل می‌شویم. این تفاوتی که ایجاد می‌شود، تفاوتی در حس انسان ایجاد می‌کند و باعث می‌شود که موسیقی کم کم تکامل پیدا کند و موسیقی جلو برود. برای این که تفاوت زبان موسیقی را با زبان ریاضی و زبان بشری ببینیم، شاید بد نباشد که به قدمت آن‌ها همه توجه کنیم. قدمت زبان بشری خیلی بیشتر است. قدمت زبان ریاضی کمتر است و زبان موسیقی از زبان ریاضی هم قدمت کمتری دارد! ولی اصلاً این سؤال مطرح می‌شود که خود زبان چیست؟ یک وقتی در مورد معنای عام زبان صحبت می‌کنیم. یک وقتی معنای کلی‌تری مد نظرمان است. مثلاً در اصطلاح می‌گوییم که طرف با نگاهش دارد حرف می‌زند، یا مثال دیگر این‌که زبانی وجود دارد که با آن وحی منتقل شده است. حال این که لزوما به مرحله‌ی نوشتار نرسیده باشد. هر وقت در مورد زبان حرف می‌زنیم، یک بُعد خیلی انتزاعی از آن می‌توان متصوّر شد، و آن مفهوم می‌تواند در سطح‌های مختلفی از انتزاع و در عالم‌های مختلفی تعریف بشود. بعد دیگر هم آنی است که به مرحله‌ی نوشتار رسیده. مثلا در مورد پیغمبر (صلی الله علیه وآله وسلم) گفته می‌شود که تمام وحی را آنی دریافت کرده‌اند، و به مرور تنزیل اتفاق افتاده، و در بستر زمان بر اساس اتفاق‌های زندگی ایشان، کم کم به گفتار و نوشتار تبدیل شده است. زبانی که الان در موردش داریم صحبت می‌کنیم، به نظر، این مدل پائین آورده شده است. یعنی آن چیزی که مرحله‌ی نوشتار رسیده شده باشد، اگر به زبان با این دید نگاه کنیم، انگار projection ای است از یک فضایی به فضای دیگر. مثل یک سنگِ نشان می‌ماند که کسی بخواهد مفهومی از عالمی را به دیگران نشان دهد، چیزی که خودش لمس کرده. به قول دکتر رستگار که از وصل صحبت کردند، کسی که به مرحله وصل رسیده، سنگِ نشانی می‌گذارد تا کسانی که به آن مرحله نرسیده‌اند، بتوانند به آن برسند. جنس کلمات در آن‌جا شاید فرق داشته باشد. شاید اصلا کلمه الله چیز دیگری باشد. شاید کسی که دیده است، نشانی گذاشته باشد، یا کسی که بویی به مشامش رسیده است، برود و آن مرحله را ببیند. انگار فقط یک projection است که دارد نشان می‌دهد که جای دیگری، مفهوم دیگری یا فضای دیگری هم وجود دارد. اگر به زبان با این دید نگاه کنیم، دو فضایی که تصویر کردن از فضای اول به فضای دوم صورت می‌گیرد، مهم می‌شود. این فضاهای اولیه و ثانویه تعداد افرادی که با آن‌ها درگیر هستند را مشخص می‌کنند. این فضای اولیه در زبان ریاضیات، عالم عقل است و برای زبان بشری از عالم طبیعت تا عالم الهیات همه را در بر می‌گیرد، با این تفاوت که هر چه انسان کامل‌تر شده است، زبان بشری به سمت مفاهیم الهی بیشتر گرویده است. در نتیجه تعداد کسانی که با فضای اولیه و ثانویه ریاضی درگیر بوده‌اند، کمتر است از کسانی که با فضای اولیه و ثانویه زبان بشری درگیر بوده اند. تعداد افرادی که با فضای اولیه و ثانویه ی هر زبانی درگیر بوده اند، با سرعت رشد و تکامل آن زبان رابطه دارد. هرچه افراد درگیر بیشتر، سرعت تکامل بیشتر. از طرف دیگر، هر زبانی در هر لحظه‌ای از تاریخ محدودیت‌هایی برای بیان فضای اولیه داشته. این محدودیت‌ها باعث می‌شدند که فضای اولیه به طور کامل در فضای ثانویه تصویر نشود، و انسان‌ها احساس نیاز کنند که آن زبان را کامل‌تر کنند. بنابر این احساس به تغییر و تکامل در هر زبانی در تاریخ وجود داشته و نرخ نیاز به این تغییر و تکامل، مجددا متناسب است با تعداد افراد درگیر با فضای اولیه و ثانویه ی هر زبان. برای مثال، زبان بشری بازه‌ی وسیعی از مفاهیم موجود در عالی‌ترین عوالم تا پایین‌ترین عوالم و طبیعت را در بر می‌گیرد. یعنی فضای اولیه‌ی آن بسیار جامع است، و دغدغه‌ی تمام انسان‌ها بوده. چون دغدغه‌ی تمام انسان‌ها بوده، و نیاز به تغییر و تکامل آن هم به دلیل آدم‌های زیاد درگیر با آن زیاد بوده، خیلی سریع به صورت موضعی در جوامع شکل می‌گرفته و رشد می‌کرده. از طرف دیگر، چون در توده های کوچک سریع رشد می‌کرده، بین جوامع مختلف اشتراکات لفظی کم و اشتراکات معنایی زیاد داشته. اشتراکات معنایی زیاد، نگاه دیگری است به همان موضوعی که دکتر نریمان اشاره کردند. همان جایی که گفتند به مفهوم مادر در زبان‌های مختلف کلمات متفاوت اطلاق می شود. طبیعتا زبان‌های مختلف بشری تفاوت‌هایی دارند. مثلا زبان عربی از کلمات مختلف برای حالات مختلف شتر استفاده می کند. مفاهیمی که با زبان فارسی یا عربی می‌توان منتقل کرد، شاید به راحتی با زبان انگلیسی نتوان بیان کرد، یا برعکس. یا مثلاً یک سری کلمات در عربی هستند که معادل فارسی ندارند. وقتی از زبان ریاضیات حرف می‌زنیم، می‌دانیم که تعداد افراد کمتری با فضای اولیه و ثانویه‌اش درگیر بوده اند. در نتیجه نیاز به تغییر و تکامل در آن هم خیلی سرعت کمتری داشته به نسبت زبان بشری. اصلاً فضای اولیه‌ی بسیار کوچک‌تری دارد به نسبت زبان بشری. پس هم احساس نیاز به تغییر و تکامل کمتر بوده، و هم امکان تغییر و تکامل کمتر بوده به نسبت زبان بشری. این دو فرق اساسی بین زبان بشری و زبان ریاضی است که باعث می‌شود زبان ریاضی مولفه‌های همبندی خیلی کمتر و وسیع‌تری در جهان داشته باشد. از آدم‌های کمی در سراسر جهان، و از آدم‌های کمی در طول تاریخ، و از طرفی شکل نوشتار در آن مولفه ها خیلی متفاوت نباشد. در زبان موسیقی، فضای اولیه با فضای اولیه ی ریاضی متفاوت است. افراد درگیر با آن هم کمتر بوده‌اند، و نیاز به تغییر و تکامل در آن کمتر بوده. در نتیجه مولفه‌های هم‌بندی کمتر با وسعت مساحتی بیشتر، و آدم‌های کمتری حتی به نسبت زبان ریاضی داشته باشد. با این دید می‌توان، اگر ببینیم می‌توان درک کرد که چرا یک زبان رایج برای موسیقی که در جهان همه بشناسند وجود دارد، مانند ریاضی، زبان‌های دیگری هم وجود دارند که خیلی کوچکتر هستند و افراد متخصص تر به آن ها می پردازند. با این دید اگر ببینیم، و نکته‌ی دکتر نریمان را در نظر بگیریم، منطقی است که اشتراکات بین زبان‌های ریاضیات از اشتراکات بین زبان‌های بشری کمتر، و بین زبان‌های موسیقی از اشتراکات بین زبان‌های ریاضی کمتر باشد. زبان ریاضیات به قول دکتر رستگار، از عالم اسم و رسم می‌آید و به عالم نوشتار می رسد، به همان عالم اسم و رسم اشاره می کند. آن آبجکت از زوایای مختلف می‌تواند بررسی شود، و زبان‌های مختلف و تضادی که دارند باعث می‌شوند که انسان به حقیقت آن نزدیک‌تر بشود. در نهایت بستر زمانی تکامل این سه زبان متفاوت است. به طور کلی، ریاضیات بیشتر دیدن است و موسیقی بیشتر شنیدن. این دیدن و شنیدن می‌توانند مفاهیم انتزاعی‌تری داشته باشند از این چیزی که می‌شناسیم، و شاید بررسی همین تفاوت ما را به جواب سوال نزدیک‌تر کند. در موسیقی، حرکت نقش اساسی دارد. به یاد تعریف رودخانه در کتاب سیدارتای هرمان هسه می‌‍افتم که می گفت: وقتی از حقیقت رودخانه صحبت می‌کنیم، یک مفهوم خیلی کلی که در بردارنده تمامیّتش از سرچشمه‌اش گرفته تا جایی که به دریا بریزد را در نظر می‌گیریم. ما به کل این، حقیقتِ رودخانه می گوییم. اما هر در هر قسمتی آهنگ متفاوتی دارد. در بعضی قسمت‌هایش ممکن است خیلی آرامش داشته باشد و  موسیقی آرامی به گوشمان برسد. در بعضی قسمت‌ها که از سنگ‌ها بالا و پایین می‌ریزد، خشمگین است و آهنگ خشمگین دارد. هر قسمتی از آن موسیقی متفاوتی دارد. کل این قسمت‌ها را اگر ببینیم، با تمام موسیقی‌هایی که دارد، رودخانه می‌گوییم. از طرف دیگر، تعریفی از موسیقی داریم که انگار تعدادی فرکانس مختلف روی ریتمی نواخته می‌شوند. این که آن شکل موج، آن فرکانس‌ها، چطور است، به جنس صدای آن ساز ربط دارد که فعلاً موضوع بحث ما نیستند، و آن‌ها را فرکانس سینوسی در نظر بگیریم. باز اگر تکه‌ای کوتاه از موسیقی را  خیلی کند کنیم، به جایی می‌رسیم که آن فرکانس‌ها را هم ضربه‌های متوالی یکنواخت می‌شنویم. مثلاً اگر ۴۴۰ مرتبه سرعت را کند کنیم، لای ۴۴۰ هرتز را ضربات یکنواخت در یک ثانیه می‌شنویم. پس در جایی خود آن فرکانس به ریتمی تبدیل می‌شود، یعنی انگار آن فرکانس ریتمی بوده است که با فشرده کردن، تبدیل به یک نُت شده، و این ریتم‌های قدیم، یا فرکانس‌های جدید، روی ریتمی سوار شده‌اند و به موسیقی تبدیل شده‌اند. برعکس، اگر قسمتی از موسیقی را به ضربات ریتم تبدیل شود، می‌توانیم آن را لمس کنیم و ببینیم. این صحبت‌ها به همان بستر زمانی که در موردش صحبت کردیم ربط پیدا می کند. اگر کل اتفاقات مهم زندگی یک انسان را در نظر بگیریم، مثل ضربه های ریتم هستند. اگر این ضربات را خیلی تند ببینیم، روزها، ساعت‌ها، دوره‌های زندگی، متناظر بشوند با chord progression و در نتیجه کل زندگی او را بتوانیم یک قطعه موسیقی در نظر بگیریم که می‌شود آن را شنید. هر درختی که کاشته می شود، از لحظه‌ی کاشته شدن تا وقتی پوسیده می‌شود، قطعه‌‍ی موسیقی است که مختص آن درخت است. با همین منطق، صد سال اخیر تاریخ را هم می‌توان موسیقی در نظر گرفت. شاید به این دلیل است که برخی بزرگان گفته اند که چیزی که انسان بشنود شک می‌کند، ولی چیزی که ببیند یقین دارد. در کل، زبان نوشتار موسیقی خیلی نوپاست. موسیقی غربی بر اساس ۱۲ نُت بوده و این دستگاه ۱۲ نُت مربوط است به سازهای خاصی که استفاده می‌کردند. این زبان نوشتار در ١٠٠ سال اخیر وارد موسیقی ایران شده. در ابتدای ورود این زبان، به عقیده‌ی برخی، برای مدتی روح از موسیقی گرفته شده بود. نگاه القایی این زبان در زمان بنان، به تکاملی نسبی رسید، و سبک موسیقی متفاوتی را پایه گذار شد که نُت ها سر زمان خودشان شروع و تمام می‌شدند. این زبان، در بیان موسیقی‌های آسیای شرقی که ۱۷ نت در هر اکتاو دارند، توانایی ندارند. همچنین موسیقی الکترونیک که عمری کمتر از ١٠٠ سال دارد و خاستگاهش فرانسه و آلمان است، در قالب این زبان نوشتار نمی‌گنجد. عمر موسیقی الکترونیک کم است، افراد کمی با آن درگیر بوده‌اند، و احساس نیاز به تغییر و تکامل زبان موسیقی برایش نشده است. از همین زاویه‌ی دید است که می‌گویم قدمت زبان موسیقی کمتر از زبان ریاضی و زبان بشری است. یک نکته‌ی دیگر که می‌خواهم بگویم این است که در یک بازه‌ی زمانی، تلاش شده که فقط با نگاه کردن به نُت‌ها به صورت اعداد، و درست کردن دنباله‌هایی، موسیقی تولید شود. این نوع موسیقی را اتونال می‌گفتند و قطعه‌ی گوش‌نوازی، حداقل تا جایی که اطلاع دارم، در آن دوره تولید نشده است. این هم یک دلیل کم بودن قدمت زبان موسیقی است که هنوز زبان نوشتار، توانایی خلق کردن اثری با بازی‌های ساده را ندارد. زبان‌های دیگری برای ابعاد دیگر موسیقی هم در سال‌های اخیر پیدا شده. از جمله مدلی هندسی برای chord progression که ریاضیات نسبتاً پیچیده‌ای دارد، و به قصد مطالعه ی هارمونی بسیار قدرتمند است. در کل، به نظرم، ذات موسیقی، ساختار شکنی است. موسیقی به عالم خاصی اشاره ندارد، و ذاتش حرکت است از عالمی به عالم دیگر. چه حرکت در همین دنیای حسی که می‌توانیم مود و حال خودمان را به وسیله ی موسیقی عوض کنیم، یا حرکتی که باعث می‌شود ما از عالم طبیعت به عالم اسم و رسم برویم. هر موجودی را می‌توان مثل یک سیم در نظر گرفت که یک سر آن بسته به خلق و یک سرش بسته به حق است، و به نوعی در حال نواخته شدن است. اسکیل خودش و قواعد خودش را دارد. خواستم نکاتی که در مورد تفاوت زبان موسیقی، زبان ریاضی و زبان بشری به ذهنم رسید را بگویم.

 

آرش رستگار-بازخورد به زبان موسیقی: هر چند که صحبت جناب فرحت را شنیدم و یادداشت هایش را خواندم، که چه قدر مفید بود و چیزهای زیادی را که نمی‌دانستم را یاد گرفتم، با این حال، هرچه فکر می‌کنم  پرسپکتیوی که ایشان داد به لحاظی با نظر من متفاوت است. از این لحاظ که، البته به طور فلسفی و نه به لحاظ تاریخی، تصورم این بود که مطالعه‌ی زبان در موسیقی باید بسیار گویا باشد. حداقل از لحاظ تاریخ اجتماعی، به نظر ایشان این طور می‌رسد که وضع موسیقی از ریاضیات خراب‌تر است، و یا این‌که، ریاضیات از لحاظ مفاهیم زبان، قدیمی‌تر و غنی تر است. به نظر من، به لحاظ فلسفی، این‌طور نیست، ولی ایشان می‌گویند که از جنبه‌ی اجتماعی-تاریخی این طور است. بنابراین، فکر می‌کنم که باید از یک فیزیک‌دان نیز خواهش کنم که به ما کمک کند و البته می‌دانم که آن تاریخ فیزیکی که ریاضی در آن وجود دارد، و مفهوم زبان در آن مطرح می‌شود، از موسیقی هم عمر کوتاه‌تری دارد. در هر صورت باز فکر جدیدی خواهد بود.

 

جعفر خدا قلی‌زاده- زبان فیزیک: باید بگویم که من فیزیک می‌خوانم و فیزیک پیشه هستم، ولی فیزیکدان نیستم. به سوال اول برمی‌گردم که چرا این قدر جوامع دارای زبان های مختلف، ابزار ریاضی مشترک و کم‌تنوع‌تری دارند؟ مقداری که تاریخ ریاضیات بلد هستم، به دوره ی دبیرستان یا دوره لیسانس باز می گردد. متأسفانه وقت نداشته‌ام که مطالعاتم را در این زمینه عمیق کنم، اما اگر بخواهم به صراحت به این سوال جواب بدهم، باید ابتدا به این جواب بدهم که چرا ریاضیات زبانی مشترک است؟ من فکر می‌کنم که همه چیز برمی گردد به این که مفهوم اندازه گیری، یا مفهوم measurement چیست؟ البته مفهوم اندازه گیری برای منی که فیزیک خوان هستم با شما دوستان ریاضی‌دان و موسیقی‌دان خیلی فرق می کند. نمی‌خواهم خیلی با جزئیات حرف بزنم، اما وقتی که نگاه می‌کنم می‌بینم که می‌توانیم فرض کنیم که ریاضیات از دوره‌ی یونانیان باستان شروع می‌شود ،که بر اساس مفاهیم اندازه‌گیری‌های دوره‌ی خودشان حرف‌هایی می‌زدند. هر جامعه‌ای بالاخره مفهومی برای اندازه گیری در ساختارهای localized خودش داشته است. این مفهوم از جامعه‌ای به جامعه‌ی دیگر منتقل می‌شده، عموما توسط بازرگانان یا کسانی که از تمدنی به تمدن دیگر می‌رفتند. یعنی جوامع، از طریق ارتباطات طولانی، و در مسافرت های زمینی، با مفهوم اندازه‌گیری جوامع دیگر آشنا می‌شدند. اگر ابزارها و مفاهیم جدید خیلی بهتر از ابزار خودشان می‌بود، ابزار خودشان را کنار می‌گذاشتند و از آن ابزار جدید استفاده می‌کردند. چون انسان هرچه که جلوتر می‌رفت، از اندازه‌گیری‌هایی استفاده می‌کرد که زندگی را بتواند راحت‌تر کند. به نظر من، به این سوال جواب دادن کمی سخت است. دوستانی در مورد موسیقی هم صحبت کردند. در هر صورت آن زیبایی که در موسیقی وجود دارد، شرط است. شاید جایی از جهان آهنگی ساخته بشود، ولی زیبایی آن آن‌قدر زیاد باشد که جوامعی بدون هیچ ارتباطی با آن مکان، به آن موسیقی علاقه‌مند شوند. لذا به نظر من، آن احساس لذت یا measurement که انسان از آن لذت می برد، در تمام جوامع یکسان است، آن measurement ای که انسان استفاده می‌کند تا با آن بتواند راحت تر زندگی کند، آن ویژگی در تک تک انسان ها یکسان است. لذا می‌توان این طور نگاه کرد که ریاضیات ابزاری جهان شمول است، ولی زبان بشری ابزاری بسیار موضعی، و خیلی وابسته به محیط است. اگر من اشتباه می‌کنم بفرمایید. ولی انسان‌ها برای ساخت زبان ها و کلماتشان، بسیار از اصوات اطرافشان استفاده می‌کنند. این جمله ی من خیلی محکم نیست. من در واقع جواب سوال را ندادم، و بیشتر دارم سعی می‌کنم که ببینم جواب این سوال آیا ارتباطی به مفهوم اندازه‌گیری دارد یا نه؟ نمی‌دانم. باز هم باید به این موضوع فکر کنم. ولی این سوال بسیار قشنگ است. این که چرا ما زبان مشترک ریاضیات بسیار خوبی داریم، ولی هر مملکت، هر جامعه، یا هر قومی دارای زبان مختص خود است؟ و این‌جا سؤال دیگری هم برای من پیش می‌آید که سعی می‌کنم با مثال بپرسم. آیا ترک‌ها ریاضیات بهتری را می‌فهمند یا کرد ها؟ یا چینی‌ها؟ یا ژرمن‌ها؟ یا فلامان ها؟ یا انگلستان؟ سرن ها؟ نمی دانم. آیا زبان به درک ریاضی کمک می‌کند؟ سوالم بی‌خود است، ولی به ذهنم رسید، و خواستم مطرح کنم. در پاسخ به سؤال اصلی، به نظر من سریع‌ترین جواب، بحث measurement است. چون همه ی جوامع با measurement زندگی می‌کنند، ریاضیات ابزار یکسانی می‌شود، ولی این مطلب در مورد زبان صادق نیست. چون زبان، وابسته به محیط و آب و هوا و موقعیت است. شاید هم ربطی نداشته باشد. می بخشید! من جواب این سوال را ندادم، ولی فکر می کنم اگر بخواهیم به سوال جواب بدهیم، مجبوریم به مفهوم measurement در جوامع فکر کنیم.

 

آرش رستگار-درباره هدف یک زبان: به نظر من، صحبت با یک فیزیک‌دان خیلی به بحث کمک کرد. نه به این خاطر که دکتر خدا قلی‌زاده برای ما راجع به اندازه‌گیری، که کار و نگاه فیزیک‌دانان است، صحبت کردند. بلکه به این خاطر که نکته‌ای را مطرح کردند. و آن این است که اصلا purpose و هدف یک زبان چیست؟ purpose موسیقی چیست؟ purpose ریاضی چیست؟ purpose زبان‌های بشری چیست؟ و خب مسلما زبان بشری purpose اش خیلی diverse است.  purpose ریاضی خیلی محدود است، و purpose موسیقی حتی محدودتر. یادم نیست که این جمله از کیست که می‌خواهد ارتباطی بین ریاضی و موسیقی برقرار کند. می‌گوید ریاضیات، موسیقیِ روح. نمی‌خواهم برداشت خودم از این جمله را دقیقا توضیح بدهم، به این دلیل که این قدر جمله‌ی پخته‌ای است که برداشت های بسیار متنوعی را می‌توان از آن کرد. purpose موسیقی به احساس برمی‌گردد و purpose ریاضیات به عقل ساختارساز و ساختارشناس. ولی purpose تکلّم خیلی diverse است. به همه‌ی احساس، همه‌ی افکار، همه‌ی تعقل و همه‌ی شناخت ارتباط دار،د با اینکه شاید نتوان گفت که آن‌ها را در بر می‌گیرد. و این به نظر من، نکته‌ی مهمی در مورد تفاوت زبان بشری و زبان ریاضیات است. حالا مفهوم عدد در تاریخ ریاضی تعمیم پیدا کرده است، با نگرشی مفهوم عدد به مفهوم ساختار تعمیم پیدا کرد، اما purpose عدد با purpose ساختار خیلی فرق دارد. حتی تاریخ تحول خود عدد هم از جایی به بعد به درد اندازه گیری نمی‌خورد. در خیلی جاها شما، مفاهیمی از عدد وجود دارد که باید بگویید که اگر اندازه‌گیری دخیل بود چگونه ممکن بود؟ در چه عالمی می‌توانست اندازه گیری شود؟ و در خیلی جاها می‌بینید جواب‌های ضعیفی برای این سؤال وجود دارد، و در خیلی جاها حتی آن جواب‌های ضعیف هم وجود ندارد. بنابراین، به نظر من، خود کلمه اندازه گیری در بحث ما دیگر جایی ندارد، ولی این که purpose زبان چیست، سؤالی است که خیلی مهم است، و باید راجع به آن صحبت کنیم. سوال بعدی دکتر خدا قلی‌زاده راجع به این بود که آیا زبان‌های مختلف برای یاد‌گیری ریاضی advantage دارند یا نه؟  همین چند روز پیش مقاله‌ای در باره ی حرکت ریاضی در جغرافیا و در طی تاریخ نوشتم. حرف اصلی در آن مقاله این است که هر زبانی انسان‌شناسی‌ای دارد، و انسان‌شناسی آن تمدن، باعث می‌شود در ابعاد خاصی advantage ای برای فهم ریاضیات داشته باشد.  ما اطلاعات زیادی در مورد این مطلب داریم که کدام انسان‌شناسی در مورد کدام ریاضیات advantage دارد. اما این مطلبی است که حرف زدن از آن سخت است، زیرا شما باید فرهنگی درست کنید که از هر جمله چه برداشتی باید کرد. یعنی به تعبیری باید حقیقت را نقاشی کنید. جمله‌ها و کلمه‌ها این‌طور نیستند که معنای دقیق داشته باشند. و یا بتوان ارتباط منطقی دقیق بین آن‌ها برقرار کرد. حین خواندن آن مقاله، این نکته را مد نظر داشته باشید که مطالب آن از این جهت به بحث ما مربوط می شود که ارتباطی بین زبان ریاضی و زبان‌های بشری برقرار می کند. می‌گوید که برخی زبان‌های بشری که انسان‌شناسی دارند، در برخی از انواع ریاضی advantage دارند. پس به بحث ما مربوط می‌شود. خب سوال دیگری که می‌توان در این‌جا مطرح کرد این است که آیا در موسیقی هم انسان‌شناسی های مختلف در ابعادی تواناتر هستند یا نه؟ این مثال تنوع سبک‌های شناختی، در موسیقی خودش را چه‌طور نشان می‌دهد؟ جمله‌ای از Mozart می‌گوید که شما باید بتوانید قطعه‌ای از موسیقی را، از ابتدا تا انتها، طوری نگاه کنید که آن را مانند یک تابلوی نقاشی ببینی. این یک نگاه کل نگرانه به هر قطعه ی موسیقی است، و هر موسیقی‌دانی این‌طور فکر نمی‌کند. این روشن است که خیلی از موسیقی‌دان‌ها، قطعاتی که می‌سازند را، در بستر زمان، و با توجه بسیار به توالی و ترتیب، و در جهت زمان درست می‌کنند، و بنابراین، این نوع نگاه از آن نگاه کل نگرانه دور است. نکته‌ی دیگری هم به خاطر گل حضور دکتر خدا قلی‌زاده به نظرم می‌رسد که لازم است بگویم. رشته‌ی ایشان گرانش است، و در حین یکی از مکالماتمان چیزی گفتند که برایم خیلی غریب بود. ایشان با داده های عددی کار می‌کنند و همچنین امواج گرانشی. می‌گفتند که ما داده‌هایی را از سیستم حذف می‌کنیم، بعد داده‌های باقیمانده را مطالعه می‌کنیم تا اثر آن داده‌های گرانشی حذف شده را مشخص کنیم، و این به نظر من خیلی غریب است. کمتر دیده‌ام تحقیقاتی، در ساختار شناختی خود، با چنین روشی سر و کار داشته باشد. خلاصه کلام این که، این موضوع من را یاد این مطلب انداخت که در ادامه توضیح می‌دهم، و اگر ایشان حضور نداشتند، به یاد آن نمی‌افتادم. این که اگر ریاضی در تمدن بشر وجود نداشت، ما ساختار را نمی‌فهمیدیم. اگر ساختار را نمی‌فهمیدیم، چامسکی را نداشتیم، و اگر چامسکی را نداشتیم، زبان های کامپیوتری را نداشتیم و در نتیجه عصر اطلاعات را نداشتیم. نکته‌ی دیگری هم هست. ما داشتیم بررسی می‌کردیم که زبان ریاضی اصولاً چرا زبان است؟ مثلا کلمه در آن به چه معنی است؟ چرا اصلاً به آن زبان اطلاق می شود؟ بعد گفتیم که از زبان موسیقی کمک بگیریم. کفایت نکرد، و توجه‌مان باز به جنبه‌های دیگری از موسیقی جلب شد. بعد گفتیم از زبان در فیزیک کمک بگیریم، تا ببینیم در فیزیک، زبان‌های مختلف به چه شکل هستند؟ به طور مثال، دکتر نریمان در خصوص ریاضی فکر می‌کردند که درست نیست از کلمه زبان برای اشاره به فرمول‌بندی‌های مختلف یک تئوری استفاده کنیم. من از دکتر خدا قلی‌زاده دعوت کردم که ببینیم یک فیزیک‌دان در مورد این موضوع چه مطلبی برای ارائه دارد. موسیقی‌دان هم نتوانست بگوید که چه چیزی را باید آن‌جا زبان نامید. خصوصا این که من شخصا احساس می پ‌کردم که موسیقی شباهت بیشتری به فرم دارد به نسبتِ ساختار. البته جناب فرحت هم این مطلب را تقریباً تأیید کرد. از آن‌جا که موسیقی به فرم نزدیک است، می‌خواهد از ساختار فرار کند. اتفاقا این خصوصیت موسیقی برای فهم آن ساختار و همچنین برای فهم این که اصلا زبان چیست، کلام چیست، ساختار چیست، می‌تواند بسیار راه‌گشا باشد. یک سری گفت و گوهایی در خصوص این‌که بخواهیم از ساختارها در ریاضی دور شویم، به صورت جداگانه با دکتر نریمان و دکتر طباطیایی داشتیم که حاصل آن گفت و گو ها در وبسایت ما قابل دسترسی است. در ریاضیات سخت است که به سمت فرم نزدیک و از ساختار دور شویم و از آن جا نگاه کنیم تا دریابیم که ساختار چیست. شاید این کار در موسیقی راحت‌تر باشد. در فیزیک هم باید خیلی شبیه ریاضی باشد. بنابراین، به نظر من، به معنایی، اگر بخواهیم از یکی از تجربیات بشر به عنوان فهم دقیق هسته‌ی مرکزی مساله‌مان کمک بگیریم، آن پارادایم موسیقی است، و زبان موسیقی است که آن‌جا حرف اول را می زند.

 

سامان فرحت-درباره ذات موسیقی: من یک توضیحی می‌خواهم بدهم. سعی می‌کنم همان مطالب را با توجه به مقاله‌ای که دکتر رستگار فرمودند به زبان دیگری بیان کنم. اول این که به نظرم، قبل از آن که راجع به purpose صحبت بکنیم، باید ببینیم که purpose چه چیز می‌تواند باشد. purpose یک چیز، می تواند همین باشد که وصف دنیای خودش را بکند، یعنی قبل از این‌که ببینیم چه فانکشنالیتی‌ای دارد، باید ببینیم منظورمان از ریاضی چیست؟ اگر measurement منظورمان باشد، در آن صورت ریاضیات جدید مد نظرمان نیست. موسیقی هم همین‌طور است. باید ببینیم به چه چیز می‌خواهیم موسیقی بگوییم. اگر منظورمان از موسیقی همین موسیقی کلاسیک باشد و قطعه هایی که می‌شناسیم، به نظرم این آن معنی اصلی موسیقی نیست. قبلا هم در مورد همین توضیح می دادم. این که موسیقی اصلا ذاتش باید حرکت باشد. موسیقی‌ای که در همه‌ی عوالم بتوان به آن موسیقی اطلاق کرد، ذاتش حرکت است. حالا چه حرکتمان افقی باشد و چه عمودی. قوس نزول باشد و یا قوس صعود. هر حرکتی، در هر عالمی، چه عالم عدم، چه عالم لا اسم و لا رسم، چه عالم اسم و رسم، چه عالم جبروت و یا عالم طبیعت. منظورم از زمان هم زمانی که حس می‌کنیم نبود. زمان سرمدی، زمان دهری یا زمان طبیعی. تمام این حرکت‌‌ها از هر جایی به هر جای دیگری. شاید معنی اصیل موسیقی این باشد، همان‌طور که می‌توان معنی متعالی برای ریاضی متصور شد. در حال حاضر این نُت نویسی‌ای که برای موسیقی وجود دارد را می‌توان با مفهوم عددنویسی معادل گرفت، وقتی که ریاضایت متعالی تولید نشده بود. موسیقی همان حرکت است، از هر عالمی به هر عالم دیگری. اگر ما هر حرکتی را از عالم بالاتر نگاه کنیم، چون زمان در آن جا کندتر است، آن حرکت را  مثل تابلویی نقاشی می‌بینیم. حرف موتزارت را این طور متوجه می‌شوم که همان حرکت را بتوانیم از عالمی بالاتر به آن نگاه کنیم. به همین علت است که می‌گویم زبان موسیقی نابالغ است. انگار هنوز در آن مرحله عددنویسی ریاضی به سر می‌برد. با خواندن مقاله دکتر رستگار، متن حرکت فکر ریاضی، این به ذهنم رسید که شاید این اصلا ذات ریاضی در مورد بودن‌ها باشد. حتی مفهوم حد هم بودنِ یک شدن است. همان حرکت را جوری بیان می‌کند که انگار تبدیل به بودنی شده. از طرف دیگر، ذات موسیقی همان شدن است. بودن و شدن را این‌طوری به ریاضی و موسیقی متناظر می‌کنم. نُت ها را می‌توان ریتم‌هایی در نظر گرفت که فشرده شده‌اند و به صورت نماد درآمده اند. به یک معنی، آن فرکانس، شدنی بوده که به بودن تبدیل شده. بعد دوباره همین بودن‌ها (نُت ها) را در یک شدنی روی ریتم می شنویم. با این مبانی که گفتم، آن جمله ی قشنگی که دکتر رستگار گفتند، برایم معنی پیدا می کند. اینکه ریاضیات در واقع موسیقی عقل است، و موسیقی هم ریاضی روح است. این مطلب را با این زاویه دید که توضیح دادم، می‌توانم متوجه شوم. خواستم از حرف‌های قبلی‌ام که خیلی نتیجه‌ی واضحی نداشت، این را نتیجه‌گیری کنم.

 

آرش رستگار- گزارش یک گفتگوی دو نفره: با جناب فرحت صحبت می‌کردیم و به فرمول‌بندی‌ای رسیدیم که جایگاه فرم رو در برابر ساختار توضیح می‌داد و به ریاضی و موسیقی و ارتباط آن‌ها مربوط بود، همین‌طور به فیزیک. و آن این‌طور بود که انگار موسیقی یک فرم باشد که وسط دو تا آیینه است. آن دو آیینه، یکی عالم مثال یا ریاضیات است، و یکی علوم طبیعی که فیزیک باشد. می‌توان تصویر این آینه ها را هم در هم‌دیگر دید. یعنی اگر دوست دارید، فقط همین دو آیینه به علاوه‌ی فرم وسطشان را ببینید، که ریاضیات و فیزیک و موسیقی به دست می‌آید، اگر دوست دارید می‌توانید تصویر فیزیک در ریاضی و تصویر ریاضی در فیزیک را هم ببینید. البته مقداری اشتباه گفتم. این فرم در ریاضی و فیزیک هرکدام تصویری دارد. تصویری که در فیزیک دارد، مجدداً در ریاضی قابل دیدن است و برعکس. آن موقع تعداد آن‌ها پنج می‌شود. دیگر ذهنم کشش هفت‌تایی اش را ندارد که چه معنی‌ای می‌تواند داشته باشد. به نظرم این مدل، مدل مولّدی است. ایده‌های زیادی می‌تواند تولید کند. مثلا جسد و نفس و روح افلاطون یا جسد و روح و عقل ملاصدرا را اگر در نظر بگیرید، آن‌ها هم دو آیینه هستند با چیزی در وسط. یا مدل های انسان شناسی هفت لایه‌ای، مثل جسد و نفس و قلب و روح و عقل و نور و هویت. این‌ها هم دو تا آینه و چیزی در وسط هستند. یا حتی مدل‌های پنج لایه‌ای انسان‌شناسی در تمدن هند و تمدن چین که منجر به موسیقی پنج نُتی شده اند. به نظرم خیلی نکته دقیق، و حقیقتی در آن وجود دارد. حالا ما هنوز به آن جا نرسیده‌ایم که برگردیم و ببینیم که در مورد فرق زبان ریاضی و زبان بشری چه چیز می‌توان گفت. به نظرم صبر کنیم که خانم شیرخانی هم صحبت کنند. همچنین الان به ذهنم رسید که بد نیست که کمی هم راجع به زبان‌های کامپیوتری صحبت کنیم، چون برخی از دوستان علوم کامپیوتر می‌دانند. بعد دیگر کم کم دامنمان را جمع کنیم و برگردیم به همان باغ قبلی، به مساله‌ی زبان ریاضی و زبان بشری. چون ما الان داریم سعی می‌کنیم به این بپردازیم که اصلا زبان چیست، البته با مقایسه مصادیق مختلف آن. بعد می‌رویم و  فرق زبان ریاضی و زبان بشری را بررسی کنیم.

 

مهرک شیرخانی- زبان در فلسفه‌ی براور: راستش چون رشته اصلی‌ام هنر است، از یک طرف فکر می‌کنم شاید چیزهایی که می‌گویم برای شما بدیهی باشد و نمی خواهم وقتتان تلف شود، از یک طرف دیگر قسمت زیادی از حرف‌هایی که می‌خواهم بگویم مثل فرمالیسم و استراکچر و این ها، بر پایه دانشی است که از هنر و معماری دارم و نه از ریاضی. برای همین فکر می‌کنم اگر بخواهم با توجه به آن‌ها صحبت کنم، ممکن است از بحث دور شویم. یک خلاصه‌ای از پایان نامه‌ام با دکتر اردشیر را می‌خواهم توضیح دهم. در واقع، صحبت‌هایی که با ایشان داشتیم، و راجع به همین رابطه‌ی زبان ریاضی و زبان بشری بود، چند نکته داشت. واقعا خیلی از مطالبی که فرموده بودید هم جالب بودند. در مورد چند تا از آن‌ها نکته‌هایی دارم. اول بحث قدمت بود. اگر قدمت یک زبان، مثلا قسمت صوتی اش را بخواهیم در نظر بگیریم، چیزی است که دقیقا نمی‌توان محکم گفت که قدمت زبان ریاضی بیشتر است یا زبان های بشری. احتمالاً در ابتدا چیزی اولیه و بدوی وجود داشته که شاید ساختار خاصی نداشته.  برای مثال، برای صدا کردن چیز هایی، کلمه‌هایی به آن‌ها اطلاق می‌شده. ولی ممکن است در همان موقع برای اعداد یا مفاهیم ساده ریاضی مثل بیشتر، کمتر، یا دایره و این قبیل چیزها هم کلماتی بوده باشد. این مرز خیلی شفاف نیست. از آن طرف، اولین چیزی که ثبت شده، نه دستور شاهی بوده و نه شعر عربی ای، یادداشت‌های یک حسابدار است. یعنی اولین زبانی که حداقل ساختار نوشتاری پیدا کرده، زبان ریاضی بوده. این در مورد قدمت. دوم این که سوسور که زبان‌شناس است و حتما می‌شناسید، بحثی دارد در مورد این که اصولاً چه قدر سخت است که بین زبان صوتی، زبانی که می نویسیم، و حتی زبان اشاره فرق بگذاریم. او همه‌ی این ها را یک سری ابزار می‌بیند. مثلا وقتی که داریم فارسی حرف می‌زنیم، مستقل از این‌که از کدام یکی از این ابزارها استفاده می‌کنیم، ما هنوز فارسی حرف می‌زنیم. اصولاً می‌گوید که هدف زبان این است که بین اشیاء تمایز قائل شود. یعنی مهم نیست که ما چرا به مداد، مداد اطلاق می‌کنیم، و یک کلمه ی دیگر نسبت نمی دهیم. مهم این است که به این مداد می‌گوییم و به آن دیگری میز و تمایز این دو را متوجه می‌شویم! و این لغت‌ها آن قدر اهمیت ندارند! برای همین، حالا چه بگوییم میز، چه بنویسیم، یا مثل کسانی که توانایی صحبت ندارند، با دستمان نشان بدهیم، همچنان داریم همان کار را انجام می‌دهیم. ولی چیزی که هست این است که زبان با توجه به فرهنگ‌های مختلف، گنجایش‌های مختلفی دارد. در بحث مطرح شد که کلمه مادر همه‌جا یکی باشد، و فقط کلمه‌اش فرق کند. ولی مادر، کلمه‌ی خیلی اولیه‌ای است که در همه‌ی فرهنگ‌ها وجود دارد. همه لغت ها این‌طور نیستند. مثلا برای ما که فارسی‌زبان هستیم، سه چیز از آسمان فرو می‌ریزد، باران، برف یا تگرگ. برای اسکیموها ۱۶ چیز از آسمان می‌بارد. برای هر کدام یک لغت دارند، و آن ها را متمایز از هم می‌بینند. اصولاً طوری که به دنیا نگاه می‌کنند، در آن زبانی که develop کرده‌اند، بازتاب دارد. کسی هم که بعد ها آن زبان را یاد می‌گیرد، به آن طریق به دنیا نگاه می‌. خلاصه‌ی حرف این است که چه ما بنویسیم، چه حرف بزنیم، چه ناشنوا باشیم و بخواهیم با زبان اشاره صحبت کنیم، ما که فارسی زبان هستیم، داریم فارسی صحبت می‌کنیم. سومین مساله ای که می‌خواستم مطرح کنم اشاره به براور است. او این بحث را دارد که ریاضی اصولاً یک شهود قبل از  زبان است. یک زبانی توسط ما به آن تعلق می گیرد که راجع به آن صحبت کنیم. خود ریاضی شهودی است که قبل از این مرحله در آدم وجود دارد. زبان بشری را از طرف دیگر در مرحله‌ی اول از خودآگاه دسته بندی می کنند، ریاضی را در مرحله دوم خودآگاه که هنوز زبان به وجود نیامده است، و علوم طبیعی یا هر چیز دیگری که با زبان بتواند به وجود بیاید در مرحله سوم قرار دارند. نکته‌ی دیگری که وجود دارد این است که اگر کسی بخواهد زبان مصنوعی بسازد، راحت می تواند! مثلا این کار در فیلم‌ها بسیار انجام شده است. زبانی ساختگی را به تمدنی ساختگی نسبت می‌دهند. ولی اگر بخواهیم زبان ریاضی متفاوت و جدید بسازیم، نتیجه اش توسعه یافته‌ی همین زبان موجود می‌شود. حتی اگر ریاضی با سیستم حسابی حال حاضر، توسط منطق‌کارانی کاملاً پاک شود، و سیستم کاملا جدایی از نظر ارزش‌گذاری و چیزهای دیگر درست کنند، به طور شهودی این‌طور به نظر می‌رسد که همان کار ریاضیِ قبل را می‌کند. از یک منظر، انگار چه با خطوط کار کنیم، چه با عدد و یا با علامت‌های دیگر، می‌توان گفت که ریاضی انجام می‌شود. یک صحبتی که مطرح شد، این بود که جغرافیا روی حرکت ریاضی تاثیر می‌‌گذارد. زبان روی هر چیزی تأثیر می‌گذارد، مثل سیستم حکومت یا هر چیز دیگری. این باید بررسی شود که آیا جغرافیا روی شهود ریاضی به اندازه‌ی موضوعات دیگر تأثیر گذار هست یا نه؟ ممکن است فکر کردن به این سؤال ما را به جواب نزدیک کند. زبان بشری روزمره چیزی است که خیلی مرتبط به فایده و هدف است. هدف ریاضی را اگر بخواهیم تعریف کنیم، عجیب و غریب است. هاردی می گوید که قسمت بیشتر ریاضیات، اصلا هیچ فایده ای ندارد، و به هیچ دردی هم نمی خورد. بخش خیلی کوچکی وجود دارد که واقعا کاربرد دارد! ولی زبان‌های بشری از این منظر وابسته‌تر به اتفاقات فرهنگی و جغرافیایی هستند. صحبت‌های دیگری هم دارم ولی باید به آن‌ها بیشتر فکر کنم، چون پایه ی هنری دارند. و انشاءالله هرچه زودتر در موردشان صحبت می کنم.

 

سامان فرحت-درباره زبان ماشین: دکتر رستگار مطرح کردند که در مورد زبان ماشین‌ها صحبت کنیم. خیلی در مورد آن فکر کردم. تصمیم دارم چیزهایی که به ذهنم می‌رسد را مطرح کنم. اولی در مورد تئوری علوم کامپیوتر و محاسبه است. یکی هم در مورد زبان‌های برنامه نویسی، و دیگری در مورد فهم ماشین. ولی ترتیب حرف‌هایم برعکس چیزی است که ذکر شد. خب در مورد فهم ماشین، اولا می‌دانیم هر زبانی که مجموعه‌ی محدودی از کلمات داشته باشد را می توانیم با صفر و یک مدل کنیم. یک آزمایش معروفی وجود دارد به اسم chinese room. نتیجه‌ی آن این است که انگار syntax با semantics فرق می‌کند. آزمایش به این شکل است که در اتاقی که داخل اتاق معلوم نیست، مجموعه‌ای از کلی کتاب چینی وجود دارد، کلی instruction وجود دارد. یک آدمی هم داخل اتاق قرار دارد که چینی بلد نیست و کسی از بیرون اتاق سؤال چینی از او می پرسد. او باید با استفاده از کتاب هایی که در آن جا وجود دارد، جواب آن سوال را پیدا کند و برگرداند. و در نهایت،  متوجه نمی‌شویم که آن جوابی که از داخل اتاق آمده آیا از طرف کامپیوتر بوده یا از طرف آدم. خیلی‌ها در مورد این موضوع صحبت کردند. مثلاً اینکه understanding با conscious تفاوت دارد. می‌شود گفت understanding برای کامپیوتر اتفاق می‌افتد و  conscious وجود ندارد. ولی از طرفی دیگر، عده‌ای می‌گویند که مغز هم در سطح نورون‌ها همین طوری کار می‌کند، و فهم ما هم در مراحل ابتدایی این‌‌طوری است. بحث دیگر راجع به سرعت است. اگر ما سرعت را هم لحاظ کنیم، کامپیوتر طبیعتاً خیلی سریع‌تر جواب می‌دهد. یا عده‌ای دیگر گفته‌اند که این کل اتاق است که می‌فهمد. علوم کامپیوتر، در کل، در مورد محاسبه است. خیلی فکر کردم که واقعاً محاسبه چه هست؟ محاسبه ی سری اعداد بگیرید تا محاسبه توابع تا محاسبه پذیر بودن توابع. به یک طریقی انگار map می‌شوند به تمام مفاهیمی که می‌شناسیم. یک راه map کردنی برای آن‌ها وجود دارد. در ادامه‌ی بحث بودن و شدن باید بگویم که دو مدل نگاه مختلف، در کل، در علوم کامپیوتر وجود دارد. یکی از آن‌ها نگاه الگوریتمی است، در تقابل با نگاه یادگیری. مثلا مدل های neural networks یا  deep learning اساس یادگیری دارند. ما به آن‌ها می گوییم که این پروسه را یاد بگیر، و خروجی ات را هم بر اساس آن فیدبکی که می‌دهیم تغییر بده. نگاه مقابل آن الگوریتم است که به صورت مشخص از حالتی به حالت دیگر می‌رود. این دو نگاه متفاوت هستند. نگاه الگوریتم، متناظر می شود با بودن و نگاه یادگیری با شدن. همین chat GPT یک نگاه دیگری به مساله ی chinese room و خروجی نگاهِ شدن است. در قسمت دوم می‌خواهم در مورد زبان‌های برنامه‌نویسی صحبت کنم. خیلی هم به همه جوانب آن احاطه ندارم. راجع به functional programming هم خیلی نمی‌دانم. برنامه نویسی با آن زبان‌ها نکرده ام. چند مدل برنامه‌نویسی وجود دارد. یکی assembly  است که خیلی به زبان صفر و یک نزدیک است.  procedural programming  که مثال‌های آن C و Pascal هستند یک سطح بالاتر است. این‌ها یک سری روتین تعریف می‌کنند و آن‌ها را پشت سر هم یا در لوپ‌هایی به کار می‌برند. در این‌ها آن مفاهیم اصلی که با آن ها کار می کنیم procedure هستند. مدل دیگری از برنامه نوسی وجود دارد به اسم object oriented programming که خب خیلی همه گیر شده است، و مثال‌های آن پایتون، C++ و  جاوا هستند. همه چیز را در آن‌ها  آبجکت در نظر می گیریم. در آن  object ها وراثت معنی دارد. یعنی یک آبجکتی می تواند زیر مجموعه‌ی یک آبجکت دیگر باشد، یا از آن ارث برده باشد. هر آبجکتی تعدادی method دارد، و این method ها می‌توانند بین آبجکت های مختلف به اشتراک گذاشته شوند. سطح‌بندی هم در بین آبجکت ها وجود دارد. یک object می‌تواند تشخص‌های مختلفی داشته باشد. مثل مفهوم انسان در حالت کلی، و تشخص افراد مختلف تحت عنوان انسان. این‌جا سطح جالبی از انتزاع وجود دارد، و در عالم انسانی هم همه چیز را می توانیم object در نظر بگیریم. این مفهوم object oriented زبان‌های مختلفی را بنا نهاده که همگی اساس مشترکی دارند. می‌توان مفاهیم معادل بین آن‌ها پیدا کرد که شکل ظاهری آن‌ها با هم فرق می کند. این شباهتی با زبان‌های بشری دارد. مثلاً این‌که ذکر شد مادر در ذهن همه یک مفهوم است، منتهی بروز متفاوتی دارد. اگر یک قدم بالاتر هم برویم، زبان‌هایی وجود دارند که به آن‌ها functional می گویند. سطح انتزاع این‌ها باز هم بیشتر است. در این‌جا مفاهیم اساسی که با آن‌ها کار می‌کنیم، توابع هستند و ترکیب بین آن‌ها. آنجا تمام type‌ها یک type می‌شوند. می‌توان تصور کرد که مثلاً یک object داریم که خودش می‌تواند به صورت تایپ‌های مختلف ظهور کند. راستش خودم خیلی با آن کار نکرده‌ام، ولی همان‌طور که فرق prcedural با object oriented را متوجه می‌شوم، می‌توانم فرق object oriented با functional را هم حدس بزنم. در آخر هم سعی می کنم مقداری در مورد تئوری علوم کامپیوتر و ارتباط آن با زبان صحبت کنم. خب این‌جا برای بیان یک مفهوم، زبان‌های مختلفی وجود دارد که در نهایت هم ثابت می‌شود این ها به یک معنی معادل هستند. یکی از آن‌ها این است که اصلا بگوییم که یک چیزی، یک پروسه‌ای برای محاسبه اش وجود دارد. مثلاً فرض کنید محاسبه‌ی تابع مد نظرمان است که اگر بخواهیم ببینیم توابع در سطح گسسته قابل محاسبه هستند، این متناظر می‌شود با این مفهوم که آیا زیر مجموعه‌ای خاص از اعداد طبیعی قابل محاسبه کردن است یا نه. چند روش مختلف وجود دارد. در مدل ریاضی‌ترش که مدل گودل است مفهومی وجود دارد به نام recursive function. با یک سری تابع که عملیات مقدماتی مثل تابع صفر، به علاوه‌ی یک، و تابع بازگشتی مجموعه‌ای درست می‌شود که آن‌ها را محاسبه پذیر می گوییم. مدل دیگر مدل ماشین تورینگ است. ماشین تورینگ نواری دارد که ورودی می گیرد، عملیاتی انجام می‌دهد و خروجی می دهد. توابعی که خروجی یا ورودی ماشین تورینگ هستند هم به زبان دیگری محاسبه پذیر هستند. یک مدل lambda calculus هم  وجود دارد که آن هم زبان خاص خودش را دارد، و محاسبه پذیری را به نوع دیگری معرفی می کند. مفهوم دیگری هم وجود دارد که به زبان خیلی ساده بگوییم روشی برای انجام کاری وجود دارد. یعنی الگوریتمی برای آن وجود دارد. تز Church-Turing می‌گوید که همه‌ی این‌ها یکی هستند. یعنی این که با چه روشی محاسبه‌پذیری را تعریف کنیم، به مجموعه‌ای که به آن می‌رسیم ربطی ندارد، و این خیلی مفهوم جالبی است. انگار این‌ها چیزی هستند که آن چیز محاسبه‌پذیری است. هر کدام شاید به بودن یا شدن نزدیک‌تر باشند، به طریقی جلوه کردند، و در نهایت همه‌ی این ها یکی هستند. شاخه‌ی دیگری به اسم complexity وجود دارد که زمان اجرای الگوریتم‌ها را بررسی می کند و این جا زمان خیلی مهم است. یکی از مساله‌های مهم این جا P=NP است. P مجموعه مسائلی است که در زمان چند جمله‌ای با ماشین تورینگ قطعی حل می‌شوند و NP  مجموعه ی مسائلی است که در زمان چند جمله‌ای با ماشین غیر قطعی حل می شوند. و این یکی از بزرگترین مسائلی است که در علوم کامپیوتر وجود دارد که آیا این دو مجوعه یکی هستند یا نه. روش های مختلفی برای نزدیک شدن به آن وجود دارد که در نهایت خیلی نتیجه خاصی در مورد خود مساله گرفته نشده. شاید اصلا نوع نگاه به آن اشتباه باشد. نمی دانم! این که چرا زمان را مطرح کردم، یادم رفت. می‌خواستم بگویم که شاید این‌ها اشاره به مفاهیم بلندی کنند و بشود آن‌ها را map کرد. مدل‌های جدیدتری هم وجود دارند. مثلاً مدل Arthur-Merling این‌طور است که ماشینی عادی و ماشین دانای کل با هم در ارتباط هستند، و ماشین محاسباتی معمولی می‌تواند از دانای کل سؤال بپرسد. از این تعامل، کلاس محاسباتی درست می‌شود. این تعامل را می‌توان تعبیرهای فلسفی از آن کرد، و متناظر کرد با مفاهیم انسانی. اما جالب این است که تمام مفاهیم در یک جا جمع می‌شوند، و دعوا فقط سر زمان و فضای محاسبه می‌شود.

 

مهرک شیرخانی-زبان در معماری: در عمل فرق گذاشتن بین رویکرد فرمال و رویکرد ساختارگرا مقداری سخت است. چون رابطه‌ی رفت و برگشتی با هم دارند. تکه‌هایی از یک کار ساختارگرایانه ممکن است کار فرمال هم باشد، و همچنین اتفاق‌هایی در عمل در آثار هنری ممکن است بیفتد. حالا به طور کلی، شکل‌گرایی رویکردی در هنر است که به جای این‌که به محتوا تاکید کند، و یا حتی به آن اشاره‌ای کند، به اهمیت شکل به منزله‌ی سرچشمه‌ی جاذبه‌ی اثر هنری تاکید می‌کند. در واقع، خود فرمِ اثر هنری مستقل از این که آیا معنایی دارد یا نه، مورد توجه قرار می‌گیرد. این نگاه از کتاب critic of judgement کانت شروع می‌شود. این نگاهی است که منجر به عبارت هنر برای هنر می‌شود. وقتی می‌خواهید اثری هنری را تولید کنید، لازم نیست که حتما با وسیله‌ی آن چیزی بگویید. یا مثلا وقتی می‌خواهید با یک اثر هنری مواجه شوید، برای این که لذت ببرید و زیبایی شناسی‌اش را بشناسید و یا با آن ارتباط برقرار کنید، هیچ لزومی ندارد که از خودتان بپرسید که این اثر چه می‌گوید؟ چه می‌خواهد بگوید؟ چه محتوایی دارد؟ چه معنی‌ای دارد؟ این‌ها اصلا اهمیتی ندارند، و با همان صورت ظاهری که می‌بینید و با آن ارتباط برقرار می‌کنید، یا اگر به عنوان هنرمند دارید یک اثری را بازدید می‌کنید، مستقل از معنی، خودش واجد ارزش هنری است. ساختارگرایی در زبان‌شناسی هم از سوسور شروع می‌شود که می گوید: ساختارِ زبان هیچ رابطه‌ی منطقی ای با محتوا ندارد، بلکه یک رابطه‌ی قرار دادی است. در نتیجه، چیز جدایی است و این طور نیست که لزوما رسیدن از محتوا به ساختار سیر منطقی‌ای داشته باشد، بلکه صرفاً رابطه‌ی نمادینی بین این‌ها وجود دارد. در خیلی از روان‌شناسی‌های هنر هم ساختارگرایی جزء روان‌شناسی نمادگرایی دسته‌بندی می‌شود. به این معنی که، ممکن است که محتوایی در نظر گرفته شده باشد و یک ساختاری با توجه به پیشینه‌های فرهنگی و زمانی و همه‌ی این ها محتوایی را برساند، ولی همان‌طور که بعد‌ها مطرح می شود، مثلا در بحث‌های ساختارگرایانه، معنی و نماد لزوما یک رابطه‌ی همیشگی ندارند. یعنی ممکن است یک ساختاری در طول زمان معنا‌های متفاوتی به خودش بگیرد و اصلا معنایش متفاوت شود. نمادی برای یک زمانی نماد چیزی باشد، و زمان دیگر نماد چیز دیگر، یا برای مخاطب دیگر کاملاً نماد چیز دیگری باشد. این‌طور نیست که ساختار، بازتاب دهنده‌ی یک محتوا و یک معنی باشد، و یا واقعیتی وجود داشته باشد که ساختار بازتاب دهنده‌ی آن باشد. بلکه خود ساختار، جزء واقعیت است که دارد اتفاق می‌افتد. این‌جا هم در واقع اشاره به جدایی فرم و محتوا دارد. بحث در این‌جا در مورد رابطه‌ی متغیر فرم و محتواست. در حالتی که در هنر به فرم گرایی اشاره می‌کنیم، وقتی که اصلا صحبتی از محتوا نیست، هیچ صحبتی نیست که این‌ها چه رابطه‌ای با هم دارند. حالا این یک بخش اولیه تئوری بود. به طور خاص در معمار،ی هر دو موضوع (فرم و ساختار) به دنبال منطق گرایی و عملکرد گرایی اوایل قرن بیستم خیلی جدی مطرح شدند. خیلی شدید در آن زمان، به منطقی بودن و ماشینی بودن معماری تأکید می‌شد، به این معنا که عمل‌کردی وجود دارد که باید مثلاً در این ساختمان انجام شود و آن باید به راحت ترین و بهینه‌ترین شکل انجام شود. در آن زمان، مقداری ارزش‌های زیبایی شناسی و بازی‌های فرمی کنار گذاشته می‌شوند، حداقل در تئوری. شاهد دیگری که این بحث را مطرح می‌کنم این است که یکی از مهم‌ترین شعارهای جنبش معماری این است که فرم از عمل‌کرد پیروی می‌کند. یعنی عمل‌کردی داریم و یک فرمی برای آن عمل‌کرد هست که به به‌ترین شکل جواب‌گوی آن است. این یک نوع خشکی، یک گرایش خاصی ایجاد می‌کند که بعدتر مقداری ملایم‌تر می‌شود. بحثی در معماری غربی که رویکرد مدرنی دارد و می‌گوید فرم از عمل‌کرد پیروی می‌کند. در برابر شاید چیزی که در ایران اتفاق افتاده این است که فرم از معنی پیروی می‌کند. یعنی معنی خاصی را یک اثر می‌خواهد برساند که در واقع همان دید ساختارگرایانه است. وقتی معماری ایران را به طور تاریخی بررسی کنیم، هر چند که در خیلی جاها گفته می‌شود که خیلی معماری کاربردی‌ای است و کاربردها و عمل‌کردهای آثار به عنوان جنبه‌های حائز اهمیت مطرح می‌شوند، ولی خیلی‌جاها معماری به شدت فرمالی می‌بینیم. به این معنی که صرفاً یک بازی فرمی برای کشیدن پلان انجام می‌شده که نه تنها دنبال عمل‌کرد نبوده، بلکه خیلی اوقات در تضاد با عمل‌کرد بوده و جنبه‌هایی از زندگی را سخت می‌کرده. در مورد معماری این را بگویم که در مقایسه با ریاضی یا فیزیک یا موضوعات مطرح شده جنبه‌های متفاوتی دارد. در آن Discipline‌های مختلفی درگیر هستند. مثلاً این‌که ساختمان شما باید سر جایش بایستد و یا باید بشود هزینه‌ی آن را تأمین کرد. حالا این‌ها مسائل جزئی هستند. بعدها می‌خواهید کارهایی در آن انجام دهید که متناسب با آن باید یک سری ضوابط را رعایت کنید که انجام شوند و همه‌ی این‌ها باید در یک اثر انجام شوند. تازه معماری زیرشاخه‌ای از هنر است و این هنر بودنش باید از کجا معلوم شود؟ نتیجه‌ی حرف این‌که آن‌قدر جاهای مختلفی، معماری را به سمت خودشان می‌کشند که مقداری بحث فرم و محتوا این‌جا پیچیده می‌شود.

 

امیرحسین اکبرطباطبایی-زبان در نظریه محاسبه: حتماً خاطر همگی هست که سوال اصلی‌ای که دکتر رستگار مطرح کردند این بود که از طرفی کسی از ایشان پرسیده بود که چه طور است که این همه زبان‌های مختلف بشری داریم، اما وقتی به فرمولبندی‌های ریاضیاتی، مثلا نظریه‌های مختلف می‌رسیم، در نهایت دو سه تا بیان مختلف داریم، تازه در صورتی که نظریه‌ی خوبی داشته باشیم. و این که چرا این‌جا این‌قدر تعداد زبان‌ها کم است، غریب است. آن موقع گفتم که فکری ندارم و هیچ جواب به درد بخوری که چیز نابدیهی در آن باشد به ذهنم نمی‌رسید. متاسفانه هنوز هم همان است و هنوز هم چیز زیادی به عقلم نمی‌رسد که اضافه کنم. حالا من باب این که بالاخره دکتر رستگار احضارمان کردند، حداقل درباره‌ی چیزی که دکتر نریمان عزیز در مورد محاسبه می‌گوید و ذهنم را مشغول کرده، نکته‌ای دارم که می‌خواهم با شما این‌جا در میان بگذارم. آن نکته این است که برعکس آن چیزی که در ریاضیات معمول است، در نظریه محاسبه همان‌طور که دکتر مثال زد، بیان‌های مختلفی از یک notion به نام محاسبه‌پذیری داریم. می‌توان کل تئوری محاسبه پذیری را بر حسب هر یک از این بیان‌ها نوشت و به طرز غریبی که در ریاضی خیلی معمول نیست و اصل سوال هم بر همین مبناست، در نظریه محاسبه بیان‌های خیلی زیادی داریم. واقعا بیشتر از دو سه تا هستند و واقعاً با هم فرق می‌کنند. دو سه تا از آن‌ها را هم جناب فرحت عزیز مثال می‌زند. از ماشین تورینگ گرفته تا ریجستر ماشین‌ها و lambda calculus و فرمال سیستم‌ها و الی ماشاءالله. این عجیب است و این حرف جناب فرحت توجه من را جلب کرد. در ریاضی اصلاً این طور نیست. بعد با خودم گفتم که شاید بتوانم این‌جا جوابی برای آن سوالات پیدا کنم. از روی آزمایش روی کله‌ام بزنم تا ببینم که این‌جا چه اتفاقی افتاده که ما این قدر مثال‌های مختلف داریم و شاید این جوابی به ما بدهد. دو تا نکته به ذهنم رسیدند. یکی در رابطه با همین موضوع و بعد حتی کل discourse را زیر سوال ببرم. فعلا داخل discourse بازی کنم. عرضم این است که در نظریه‌ی محاسبه برای مفهوم محاسبه‌پذیری بیان‌های طبیعی داریم. طبیعی به این معنی که این‌ها کامل ساخته شده و جعلی نیستند. بعضی‌ها بیشتر و بعضی کمتر ساختگی هستند. البته این جوابی که دارم می‌دهم جوابی بدیهی است که همه از اول می‌دانستیم و چیز خاصی نمی‌گویم. ولی به هر حال. برای این‌که فتح بابی بشود مطرح می‌کنم. این‌که در نظریه‌ی محاسبه هم بیان‌های مختلفی داریم، احتمالا به خاطر این است که مفهوم محاسبه موجودی چند وجهی است که سرو کله ی آن در جاهای مختلفی به اشکال مختلفی پیدا می‌شود. به چیزهای مختلفی می‌توان محاسبه اطلاق کرد. بگذارید این‌طور بگویم که همه روح مشترک واحدی دارند و همین شاید باعث می‌شود که سر و کله‌ی آن‌ها در جاهای مختلف پیدا شود و این شاید بتواند توضیح دهد که چرا زبان‌های بشری متنوع هستند. مثل این که مفاهیمی که بشر می‌خواهد در موردشان حرف بزند، در جاهای مختلف پیدا می‌شوند و این‌ها canonic هستند. به طور مثال، شما بالاخره آب احتیاج دارید، هوا احتیاج دارید، شکار باید برید. در هر جایی این موضوعات بالاخره پیدا می‌شوند و شما مجبور هستید به این‌ها اسم بدهید و بینشان چیزهایی درست کنید تا این‌که هربار این‌ها رو از اول درست کنید. این بسته به اجباری است که دارید. چون خیلی هم مفاهیم در این‌جا کانونی هستند. بالاخره ساختمان هم بازتولید می‌شود و چون این‌ها از هم مستقل هستند scheme‌های مختلفی پیدا می کنند. حالا یکی کمی بیشتر است، یکی کمی کمتر. هر کدام وابسته به زمینشان هم هستند. مثلا احتمالا کلمات زبان اقوام بدوی‌ای که در جای سرسبز زندگی می‌کردند با کلمات کسی که در جای خیلی خشک و گرمی زندگی می‌کرده فرق می‌کند. ولی از طرف دیگر در طولانی مدت یک مقدار به هم نزدیک  شده اند. اگر از نزدیک نگاه کنیم، فرق‌هایشان را هم تشخیص می‌دهیم. بنابراین دلیل این که زیان‌های بشری زیاد هستند این است که همه راجع به یک چیز حرف می‌زنند .شاید به این خاطر است که از همان یک چیز‌های مشترک کانونی‌ای است که مجبوریم در مورد آن‌ها حرف بزنیم، ولی independetly از هم در بستر‌های مختلفی تولید شده اند. بنابراین، چون بسترها زیاد هستند و  چون independence زیاد است، زبان‌ها هم متفاوت و مختلف و در تعداد بالا هستند. در مساله‌ی محاسبه هم همچنین اتفاقی می‌افتد. مفهوم‌های مختلفی از محاسبه داریم. از دو تا مثالی که معروف‌تر هستند و در صحبت جناب فرحت هم به آن‌ها اشاره شد استفاده می‌کنم. ممکن است از خودتان بپرسید که محاسبه چیست؟ در نگاه یک شخص، محاسبه می‌تواند دنباله‌ای از اعمال خیلی بیسیک باشد، از نوشتن و پاک کردن روی کاغذ. فرض کنید من کاغذی به شما داده ام و شما محاسبه می‌کنید. ۵ تا نماد دارید، می‌نویسید و پاک می کنید. کاغذ را به بغل دستی می‌دهید و او بالاتر چیزی می نویسد و پاک می کند. یک مجموعه ای هست که می نویسید و پاک می‌کنید و محاسبه کردن در هر گام عمل بسیار basic است. هر دنباله‌ای از این کار‌ها یک عمل محاسبه است. یک نگاه به محاسبه این است. دنباله‌ای است از نوشتن و پاک کردن. واقعا محاسبه را روی کاغذ این‌طور انجام می‌دهیم. حالا به نظر می‌رسد که محاسبه‌ای که ما روی کاغذ انجام می‌دهیم semantic ای دارد که حالا این جا خیلی مهم نیست. جور دیگر نگاه به محاسبه شمردن گام به گام است. یعنی مثلا می‌خواهم مثل چرتکه حساب کنم. مثلاً تعدادی توکن دارم. به جای این‌که بنویسم و پاک کنم، با این توکن‌ها کار می‌کنم که بشمارم. اولین جهت تورینگ ماشین و این فکر فلسفی درباره محاسبه را به ما می‌دهد. دومین جهت register machine را به ما می‌دهد. این دو با هم معادل هستند. این به ما می‌گوید که ما داریم راجع به یک نوشتن حرف می‌زنیم ولی با بیان‌های مختلف. چرا؟ چون مفهوم محاسبه چن دوجهی است. اگر ما نسخه‌های این را می‌خواهیم. اگر ناراحتیم که چرا تئوری‌های ما چند تا فرمول‌بندی ندارند و البته هنوز مشخص نیست که مفهوم فرمول بندی در نظر ما چیست، اما اگر قرار باشد که بگردم و چند فرمول‌بندی از موجودات ریاضی پیدا کنم، باید نقض کنم و بگویم شاید اصلاً معلوم نیست فرمولبندی به چه چیز می‌گوییم که در نتیجه آن قدر مساله خوب در نمی‌آید. مثلا در اعداد طبیعی بحث کنیم. این جانور‌ها مدام این طرف و آن طرف ظاهر می‌شوند. به عنوان شمارنده، به عنوان تعداد اشیاء داخل یک چیزی، به اندازه مضارب چیزی و همین‌طور ظهور‌های دیگر. فکر کنم دکتر رستگار این‌ها را در همین‌جا یک بار توضیح دادند یا اگر هم ندادند حتماً اینجا توضیح خواهند داد. بحث آن صوت این است که می‌شود اعداد را به اشکال مختلف دید. عدد در این‌جا به معنی وسیع و نه لزوما عدد طبیعی منظورم است. به عنوان طول یا به عنوان نسبت، و هر کدام از این‌ها به چیزی منجر می‌شوند. خوب می‌توان این‌ها را به عنوان صور مختلف یک مفهوم دید. تعداد این‌ صور هم زیاد است. این البته در مورد نظریه‌ها خیلی سخت و کم اتفاق می‌افتد. شاید به این دلیل که نظریه‌ها خیلی تپل هستند برای این که بشود آن‌ها را مستقل و مداوم تولید کرد. باید independence خیلی زیادی وجود داشته باشد و برای independence، این‌ها باید خیلی به هم بی‌ربط باشند. حرفم این است که اگر تئوری‌هایی رو بخواهیم ببینیم که چند تا صورت دارند، آن‌ها باید خیلی چاق باشند. باید تئوری‌هایی باشند که به چشممان بیایند. نه؟ نه مفاهیم خیلی بیسیک مثل عدد و امثال این ها. اگر قرار باشد تئوری‌ای مثل نظریه ی اعداد به چشم من بیاید، آن وقت بزرگتر از آن است که primitive باشد. و حتی بعید است که بیش از دو سه بار مستقل خلق شده باشد. دلیلم این است که ریاضیات این‌طور حرفه‌ای امر متاخر است. ما هم به عنوان بشر حرف می‌زنیم و در نتیجه این استقلال خیلی پیدا نمی شود. امر practical را می‌گویم. در حالت خاص، مثلاً یکی با زمینه‌ی آنالیز آمده و یکی با زمینه‌ی هندسه و یکی جبر و هر کدام یک‌جور تئوری پردازی کرده‌اند. بیشتر از این کاری نمی‌توانیم بکنیم. این احتمالا به این خاطر است که زیاد با هم حرف می‌زنیم و تئوری‌هایمان هم بزرگ هستند. این جواب به دلم نمی‌چسبد چون جواب ساده‌ای است. ولی خب به هر حال از هیچ چیز بهتر است نه؟ جمع‌بندی این که اگر خیلی تئوری‌های بزرگ را در نظر نگیریم، یا فرمول‌بندی‌های خیلی عریض و طویل مد نظرتان نباشد، بیاییم پایین در حد مفاهیمی نه خیلی هم مبتذل، مثل محاسبه یا عدد، احتمالاً فرمول‌بندی‌هایی در تعداد بالا پیدا می‌کنیم. همان‌طور که جناب فرحت مثال زد یا همان‌طور که دکتر رستگار همیشه عدد را مثال می‌زنند، آن‌قدر هم دستمان خالی نیست. تنوع واقعاً زیادی اینجا هست. در نگاه کردن‌های چاق و چله، اگر زیادی سخت بگیریم و آن‌ها را بزرگ در نظر بگیریم ، به خاطر این که خیلی بزرگ هستند، بعید است که کل آن بیان‌های مختلف زیاد داشته باشد. جز مثلا همین چند بیان بیسیکی که می‌دانیم مثل هندسه جبری و آنالیز و این‌ها. این از این. و اما نکته دوم. در نکته دوم می‌خواهم شروع کنم به گفتن این که این فرمول‌بندی را اصلا ما چه در نظر می‌گیریم؟ این تحت تاثیر حرف اولی است که زدم. می‌توانم تصور کنم که این تعاریف مختلف محاسبه به مذاق دکتر رستگار خیلی خوش نمی آید. علت هم این است که این‌ها formally باهم معادل هستند یعنی می‌شود هر چیزی را این‌جا خیلی دقیق ترجمه کرد به چیز دیگر مثلا از بیان تورینگ به بیان رجیستر ماشین و برعکس. یک کم این مطلب زیادی است. یعنی بیشتر از معادل و ایزومورف و این‌ها هستند. در حقیقت یکی هستند. حدس می‌زنم که این زیادی یکی بودن، ممکن برای دکتر رستگار زیاد باشد، یعنی با آن خوشحال نمی‌شوند. آن وقت این سوال مطرح می‌شود که بیان دیگر چه هست؟ می‌توان بیان دیگر را به یک معنی شل‌تر گرفت، مثلا چیزی در حد آنالوژی. این دو فرمول‌بندی مختلف از یک تئوری نیست و عیناً هر چیزی را نمی‌توان به دیگری ترجمه کرد، ولی بخش قابل توجهی از آن را با تغییراتی می‌توان منتقل کرد. به نظرم این معنی را باید مبنا بگیریم. آن وقت این سوال پیش می‌آید که خط قرمز ما کجاست؟ کجا می‌ایستیم و می‌گوییم بس است؟ تمایز آن‌قدر می‌تواند زیاد شود که دو چیز مختلف شوند. نمی‌دانم. ولی می‌خواهم بگویم اگر حساسیت به خرج دهیم، آیا زبان‌های طبیعی هم واقعا تعدادشان زیاد است یا همه‌شان یکی هستند؟ زبان‌های طبیعی مثل زبان‌های محاسبه آن‌قدر هم به طور بدیهی یکی نیستند. آیا واقعا چیزهایی وجود دارند که از یک زبان به زبان دیگر غیر قابل ترجمه باشند یا نه؟ به طور حسی، از یک طرف چیز‌هایی هستند که غیر قابل ترجمه‌اند به معنی دیگری می‌توان واقعا ترجمه کرد. معلوم نیست دقیقا کجا می‌ایستیم. اما زبان‌های طبیعی مانند ساختمان‌های خیلی پیچیده و عریض و طویلی هستند که فرمول‌بندی های مختلف را به یاد آدم می‌آورند، در مقایسه با بیان‌های مختلف در نظریه ی محاسبه. به استناد این حرف می‌گویم که آن‌جا پیچی وجود دارد. یک twist ای هست که این‌ها هم یکی هستند و هم یکی نیستند! این مشکل هم خیلی برای ما روشن نیست. این که دقیقا فرمولبندی‌های مختلف را چگونه تعریف می کنیم؟ از دکتر رستگار الان درخواست می‌کنم که دو تا مثال بزنند از فرمول بندی‌های مختلفی که به نظرشان می‌رسد. یا اصلا بیایند و بگویند که همین فرمول بندی‌های مختلف در نظریه محاسبه، که literally یکی هستند را هم فرمول بندی مختلف می‌بینم. یا اینکه این را قبول ندارم. کمی باید تعریف شل‌تر باشد. به طور مثال، می‌توانیم رویه‌ی ریمانی را با تئوری algebraic توسعه دهیم یا می‌توانیم با آنالیز complex توسعه دهیم یا هندسه جبری. نه؟ این‌ها یکی هستند. به نظر می‌آید که این یکی بودن این‌جا کمتر است. درست است که این‌جا واقعا می‌توان این‌ها را به هم ترجمه کرد و dictionary ای درست کرد. ولی این dictionary داشتن معنی شلی است. شاید دو تا dicsourse که این‌جا از قضا روی هم افتاده اند، این حس نابدیهی را به ما منتقل می‌کند. در نظریه محاسبه این طور نیست. مگر این‌که ما یک نظریه‌ی محاسبه بیشتر از اعداد داشته باشیم که داریم و آن‌ها اصلا معادل نیستند. هر کدام چیز متفاوتی را capture می‌کردند و بعد ما می گفتیم که آن‌ها مختلف هستند. اگر به این شکل فرمول‌بندی‌های مختلف از چیزی twist دار را مختلف بگیریم، آن وقت واقعا زبان طبیعی هم فرمول‌بندی‌های مختلف دارد. یعنی به این معنی زبان هایی که فرق می‌کنند، واقعا فرق می‌کنند. من خیلی متوجه نمی‌شوم، چون مساله خیلی پیچیده است و معلوم نیست که ما می‌خواهیم کجا بایستیم. خلاصه حرف دوم من این است که توضیح می‌دهم. می‌خواهیم به این سوال جواب بدهیم که چرا فرمول‌بندی‌های ریاضیات کم هستند و زبان‌های طبیعی زیادند، و فرمول‌بندی‌های یک نظریه را هم این‌جا به عنوان زبان‌های مختلف گرفتیم. فکر کنم دکتر نریمان بود که داشتند می‌گفتند که این کار درست نیست. زبان معادل فرمول‌بندی‌های مختلف یک نظریه نیست. خیلی نمی‌خواهم مته به خشخاش بگذارم. ولی اگر به فرض این‌ها را یکی بگیریم، سوالی پیش می‌آید و آن این است که به طور شهودی واقعا چه زمانی ما فرمول‌بندی‌ها را مختلف می‌انگاریم؟ مثال‌هایمان چه‌چیز هایی هستند؟ اگر کمی این‌جا پافشاری کنیم، شاید بتوانیم بفهمیم که آیا واقعاً فرمول‌بندی‌ها زیاد هستند یا به طور بدیهی‌ای کم هستند؟ این تعریف هنوز well-defined نیست. تا این‌جا یک طرف سوال را توضیح دادم. حالا در مورد طرف دیگر که گفتیم زبان‌های طبیعی زیادند، شاید تمامشان یکی باشند. به هر حال به نظر من هنوز طرف اول کمتر روشن است. به چه استنادی می‌گوییم زبان‌های ریاضی مختلف زیادی نداریم. شاید داریم، ولی همزمان حسی هم داریم که نداریم! باید این مساله روشن شود و مرزکشی‌ای انجام شود. اگر به لحاظ شهودی به این سوال قائل هستیم، باید شهودی بگوییم یکی بودن زبان ها را طوری در ریاضیات تعریف می‌کنیم که مثلا محاسبه در آن نیفتد، یا هر چیز دیگری بسته به شهود. مثال‌هایی زدم که بگویم سوالم پوچ نیست. برای مثال، عدد تعداد زیادی تجلی‌های مختلف دارد که کاملا متنوع هستند و در ظاهر می‌تواند عین متفاوت بودن زبان فرانسه و عربی باشد. پس به چه استنادی می گوییم که آن‌قدر زبان‌های مختلف ریاضی نداریم. شاید داریم. ولی هم‌زمان حسی هم داریم که تعداد زیادی زبان ریاضی نداریم. این موضوع باید به روشنی مرزکشی شود. باید بگوییم یکی بودن زبان‌ها را طوری در ریاضیات تعریف می‌کنیم که مثلا محاسبه، در آن جا ندارد یا جا دارد. این بستگی به شهود ما دارد. سؤال در این سطح زیادی generic است. احتمالاً در این سطح نتوانیم جوابی بدهیم. نیاز داریم سؤال را دقیق‌تر کنیم تا معلوم شود که دقیقا کدام مثال‌ها را مد نظر می‌گیریم تا بعد برایمان مشخص شده که اصلا زبان زیاد داریم یا نداریم.

آرش رستگار- درباره ارتباط فرم و شکل: این‌که خانم شیر انی به فرم گفتند شکل، حالا شما ممکن است این به نظرتان بدیهی باشد، و خب شکل با صورت هم خیلی نزدیکند، و احتمالا در سنت هنر این‌که به فرم بگوییم شکل خیلی رواج داشته باشد، و اتفاقا دکتر نریمان هم به خاطر این‌که با پدرشان و خوش‌نویس‌ها و هنرمند‌ها نزدیک بوده‌اند، همین فکر را می‌کنند. شاید این موضوع خیلی بدیهی باشد، اما ما در بحث‌های فلسفه ریاضی که فرم و صورت و رسم ۱ و ۲ باشد، در این مورد آن معانی صحبت کردیم. گفتیم که فرم در نظر  هیلیرت و صورت از منظر ارسطو چیزهای متفاوتی هستند. حالا این که به آن مفهوم بگوییم شکل، قدم بسیار بزرگی است. نمی‌دانم که صاحب این نام گذاری خانم شیرخانی است، یا در سنت هنر این نام‌گذاری خیلی رواج دارد، در هر صورت خیلی خوشحال هستم که این کلمه را شنیدم. برای فکرهای بعدی من خیلی کار آمد خواهد بود. نکته‌ی دوم این که هر چند الان می‌توانم راجع به معانی مختلف عدد صحبت کنم، چون در کتاب اول دبستان که می‌نوشتیم، سنت‌های معرفی عدد را مطالعه می‌کردیم و می‌گفتیم که عدد چه نقش‌های مختلفی برای بچه‌ها قرار است ایفا کند. می‌خواستیم که این‌ها از دستمان در نرود که درس بدهیم. آن مطالبی که در نظام‌های قبلی بوده. این هم چیزی جز سبک‌شناختی و فرمول‌بندی و این‌هاست. در مورد این‌ها می‌توانم حرف بزنم. اگر بخواهم در مورد significance صحبت‌های دکتر اکبرطباطبایی حرف بزنم، یک ساعت می‌شود. و در نهایت می‌گویم که دکتر، آیا این‌ها را متوجه بودید؟ بعد می‌گویند خیر. همه دوست‌های نابغه‌ی من همین‌طوری هستند. عرض شود که، من الان می‌توانم حرف بزنم و مساله را پیش ببرم، ولی با این قدمی که دکتر اکبرطباطبایی برداشتند، به نظرم دیگر مساله حل شده است. دیگر می‌توانیم ما مساله را حل کنیم. یاد داستان حضرت موسی علیه السلام افتادم که البته خودم درست کردم. یک برداشتی از شعر پروین اعتصامی است. آنجا که می‌گوید: گفت این چه حرف باطل است/ رهرو ما اینک اندر منزل است، برداشتی که از این کردم این است که می‌گوید همین که سبد را در آب گذاشتی، دیگر این‌که این آب شکافته شود، قوم پسرت از آن رد شوند، و فرعون در آب غرق شود را تمام شده بدان. اینجا هم می‌گویم این قدم دکتر اکبرطباطبایی معادل است با سبد گذاشتن. به طور خلاصه می‌گویند مساوی بودن زبان‌ها را یک مقدار تنگ‌تر کنیم، و از آن طرف تفاوت فرمول‌بندی را یک مقدار گشادتر کنیم، تا ببینیم چه به چه است و بتوانیم مقایسه کنیم. این فکر ضربه نهایی را زده است و من خیلی متشکرم. چه قدر خوشحال هستم. احساس می‌کنم همه‌ی این مولفه‌ها، که همه‌ی افراد کمک کردند، همه‌اش مفید و موثر بود. تک تک contribution ها خیلی مهم بودند تا به این‌جا برسیم و من خیلی متشکرم. باز شما این حرف‌های من را نشنیده بگیرید. عرض شود که من داشتم به این سمت گرایش پیدا می‌کردم که بگویم چه موقعی زبان های بشری یکسان هستند با توجه به چامسکی، و چه موقعی زبان‌های ریاضی متفاوت هستند. به این سمت می‌رفتم که بگویم اگر در یک پارادایم باشند و فرمول‌بندی‌های یک تئوری باشند، بگوییم متفاوت نیستند. اگر در دو پارادایم مختلف باشند و آنالوژی داشته باشند، بگوییم متفاوت هستند. داشتم به این سمت فکر می کردم با دوستی به نام مهندس محمدجواد اخوت علویان مشورت کردم که ایشان مهندس برق هستند و فلسفه علم هم می‌دانند. در دانشگاه شریف، فوق لیسانس فلسفه علم خوانده‌اند. فوق لیسانس مهندسی برق هم از دانشگاه تهران دارند. یک مقداری هم رشته‌اش در فوق لیسانس به الکترومغناطیس کوانتومی مربوط می‌شود. با ایشان داشتم صحبت می‌کردم و پرسیدم که آیا در مهندسی هم مفهوم زبان‌های مختلف وجود دارد یا نه؟ خلاصه‌ی صحبت‌هایمان را برای شما می‌گذارم. صحبت‌هایمان به این سمت رفت که وقتی بگوییم دو زبان مختلف هستند که منظرهایشان متفاوت باشد. اما منظرهایشان متفاوت باشد یعنی چه؟ دیگر نگویم که می‌خواهم به زبان چامسکی فکر کنم، بلکه به زبان‌هایی که انسان‌شناسی‌شان فرق دارد، منظرشان به انسان و به جهان فرق دارد را متفاوت بگیرم. بعد دوباره این منظر‌های مختلف راجع به همان موضوع مشترک که در ریاضی مورد نظر است هم می‌توانند مطرح شوند. اول می‌خواستم بگویم که سبک‌های شناختی مختلف، پارادایم‌های مختلف مشخص می‌کنند تا در نتیجه این‌ها منظرگاه‌هایی بشوند که یک تئوری در همه‌ی آن‌ها تجلی پیدا کند. و به این‌ها بگویم زبان‌های مختلف. بعد این‌طور که مهندس اخوت مطرح کردند، این به منظر های مختلف نسبت به مفهوم عدد، که دکتر اکبرطباطبایی معرفی کرده بودند، خیلی نزدیک‌تر است. و مثلا لیستی داشتیم از چند منظر مختلف به عدد که الان دقیق یادم نیست و باید فکر کنم. مثلا عدد اسمی داریم مثل کانال یک، کانال دو، کانال سه. عدد ترتیبی داریم مثل اولین، دومین، سومین. عدد شمارشی داریم. چندین تا از این نگاه‌ها داریم. کانتور هم می‌آید و  می‌گوید ordinal ها و cardinal ها  دو منظر مختلف از اعداد طبیعی هستند و دو جور ریاضیات مختلف به وجود می‌آورند. حالا راجع به ordinal ها من کارهای جان کانوی را هم  خیلی دوست دارم. راجع به cardinal ها هم یک ایده‌ای خودم داشتم که کاردینال منفی تعریف کنیم که شلاح گفت که ما آبمان در یک جوب نمی‌رود. خلاصه به این رسیدیم که به مفاهیم مختلف در discipline های مختلف فکر کنیم. ببینیم آیا در مهندسی مکانیک فکری متفاوت وجود دارد؟ مهندس اخوت تجربه‌ی مبسوط تعریف استاندارد، مثلا ایزو و این‌ها را دارند و آن را خیلی خوب بلد هستند. گفتند که آن‌جا شاید مکاتب فکری معنی داشته باشند. حرف هایی هم راجع به جاهایی که مکتب معنی دارد می‌خواهند بزنند.

محمدجواد اخوت علویان- درباره زبان در علوم مهندسی: خلاسه چیزهایی که آمدیم و گفتیم در مورد این که چه طور می‌شود که زبان‌های مختلفی داریم، در مورد فیزیک صحبت کردیم، در مورد نسبیت و کوانتوم و فیزیک کلاسیک صحبت کردیم. همه‌ی این‌ها راجع به یک موضوع صحبت می‌کنند ولی از منظرهای گوناگونی نگاه میکنند. در واقع این‌ها در حال توصیف یک عالم هستند، اگرچه روایت‌هایشان متفاوت باشد. روایت های مختلفی را به دست می‌دهند. آن وقت آدم که روایت‌های مختلف را می‌خواند، مثلا نسبیت می‌خواند، در نظرش عالم یک ساختار و یک حالتی پیدا می‌کند. وقتی فیزیک کلاسیک می‌خواند، یک حالت دیگری پیدا می‌کند. وقتی نسبیت می‌خواند حالت دیگری پیدا می‌کند. در زبان طبیعی هم گفتیم عین این مطلب را می‌توان بیان کرد. زبان‌های گوناگون یعنی یک موضوع به گونه‌های مختلف توصیف شود. موضوعات مورد صحبت بین انسان‌ها مشابه هم‌دیگر هستند، اما چرا زبان های گوناگون داریم؟ چون همان موضوع به گونه‌های مختلفی، با ساختارهای گوناگونی، مثلا گرامرهای مختلف توصیف می‌شود. بعد گفتیم که در علوم مهندسی هم اگر بخواهیم راجع به زبان‌های گوناگون صحبت کنیم، باید ببینیم که آیا دو زبان مهندسی یا دو پارادایم مختلف مهندسی به یک موضوع از مناظر گوناگون نگاه می‌کنند تا در نتیجه‌ی آن دو مسیر متفاوت را در پیش بگیرند یا نه؟ بعد گفتیم که اگر یک مهندس نظریه فیزیکی یا ریاضیاتی متفاوتی انتخاب کند و به خاطر آن نظریه کارش با مهندس دیگری متفاوت شود، این تفاوت کار مهندسی نخواهد بود. تفاوتی است که به واسطه ی آن نظریه فیزیکی یا ریاضیاتی که انتخاب کرده رخ داده. این‌ها چیزهایی بود که گفتیم. در مورد استاندارد هم باید فکر کنم. راجع به مکاتب مختلف مهندسی به شما گفتم که تا به حال چنین term ای نشنیده ام. در مهندسی حداقل چنین ترمی نداریم. در استاندارد شاید باشد، ولی آن قدر بحث به طور جدی در این حوزه مطرح نشده است. فرض بفرمایید در ریاضیات و فیزیک و این‌ها آدم ممکن است بشنود که مثلا در دانشگاه هایزنبرگ در آلمان یک مکتبی وجود دارد. حتی در اقتصاد ممکن است آدم نام مکتب را بشنود. الان متاسفانه اسم‌ها را خیلی به یاد نمی آورم. در اقتصاد مکتب داریم، در جامعه‌شناسی هم مکتب و school of thought داریم، ولی در مهندسی من چنین چیزی ندیده‌ام. به نظر می‌آید ما آن جاهایی مکتب داریم که در واقع آن عالم خیلی با مسائل concrete سر و کار ندارد. چون مسائل concrete و مسائل جهان خارج، مثل خط کش یا ارغنون، مسائل را همسان می‌کنند. یعنی انسان‌های مختلف وقتی با مسائل جهان خارج مواجه می‌شوند، عموما شبیه به هم فکر می‌کنند. چون یک قانونی، یک ارغنونی در بیرون وجود دارد. ولی وقتی از آن فضا دور می‌شویم، مثلا در جامعه‌شناسی، با این که یک چیزی در جهان خارجی به نام جامعه داریم، ولی خیلی چیز concrete ای نیست. یعنی واقعاً یک معقول ثانویه است. حتی جامعه معقول اولیه هم نیست. این معقول ثانویه که دو سه مرحله از جهان خارج دورتر است و ایده‌ای است که ما ساخته ایم، می‌تواند نام مکتب را در خود جای دهد. چرا؟ چون انسانی از یک منظر نگاه می‌کند و به یک جنبه اش توجه می‌کند، انسان دیگری به جنبه‌های دیگرش توجه می‌کند. اصلا شاید هر دوی آن‌ها هم حقایقی را می‌گویند، ولی از منظر های گوناگون. هر چه‌قدر به جهان خارج نزدیک می‌شویم، خیلی چیزی به نام مکتب باقی نخواهد ماند. نه این‌که نشود، معمولاً کمتر بحث می‌شود. حالا علوم مهندسی هم همین‌طور هستند. چون علوم مهندسی خیلی به جهان خارج می‌پردازند. بنابراین من فکر نمی‌کنم خیلی، مکتب در اصل کار مهندسی، یعنی آن تکنولوژی و تکنیک‌هایی که به کار برده می‌شود، وجود داشته باشد. اگر بخواهیم از مکاتب مهندسی چیزی متصور باشیم، باید در معقولات ثانویه اش گشت. یعنی در آن مطالب کلی که در مرتبه‌ی دوم، ذهن می‌سازد، مثل روش‌های مهندسی، یا مثل انتخاب‌های یک مهندس. ممکن است یک مهندس یک انتخاب داشته باشد، و مهندس دیگر انتخاب دیگر. از انتخاب تئوری گرفته تا انتخاب وسایل. ممکن است در کار یک مهندس محیط زیست، این مطلب خیلی پررنگ باشد، یا اخلاق خیلی پررنگ باشد. باید یک سری کارها را انجام بدهد، و یک سری را انجام ندهد. ممکن است کارها را به روش های گوناگونی انجام دهد. در این چیزهای ثانویه باید به دنبال مکتب گشت. اما در خود مهندسی، تا این‌جا من چیزی ندیده ام. شاید هم باید بررسی تاریخی کرد. این بررسی را من انجام نداده‌ام. از منظر مهندسی اگر نگاه کنیم، شاید بشر بین ۱۰۰۰ تا ۲۰۰۰ سال است که این کار را انجام می‌دهد. نمی دانم چه مدت است که بشر این کار را انجام می‌دهد. یعنی حتی به مفهوم صنع که حتی حیوانات هم دارند، مثلا بعضی از حیوانات سد یا آب‌بند‌های کوچکی می‌سازند و امثالهم. از آن زمانی که به این کار پرداخته شده، می‌توان بررسی کرد و دید که آیا آدم می‌تواند این بازه را به مقاطعی تقسیم کند. حالا به هر طریقی، مثلا به دلیل رشد شناختی بشر، یا تغییر سطح دسترسی‌اش به وسایل بیشتر. مسلما آن زمانی که آدم‌ها به فلز دسترسی پیدا کردند، نسبت به زمانی که فقط سنگ بوده، خیلی تفاوت به وجود آمده، مخصوصا در وسایلی که می‌ساختند. شاید یک بررسی به این شکل باید انجام داد. من الان دارم بلند بلند فکر می کنم. عرض کنم که این ها چیز هایی هستند که به ذهن من می‌آیند.

آرش رستگار- جمع‌بندی نهایی: من مشق‌هایم را انجام دادم، و فکر می کنم مثال فضاهای مدولی که در تئوری‌های مختلف به آن پرداخته می‌شود، برای کار ما مناسب است. در یک تئوری، یک حدس می‌زنیم و در یک تئوری دیگر، آن حدس را اثبات می‌کنیم. این آن چیزی بود که آن ضربه‌ی نهایی را برای شناخت، آن طوری که من می‌توانم بفهم و زورم می‌رسد، به من زد. یک مثال دیگر هم باز به نظرم می‌رسد. مثال دیگر منظر لایبنیتزی و نیوتونی به حسابان است. مثال دیگر منظر algebraic topology و algebraic geometry و منظر آنالیز مختلط و این ها به فضای مدولی خم‌ها و یا منظرهای مختلف به عدد و مثال‌های دیگر هستند. من صحبت‌هایی در مورد استعاره‌های لیکاف و نونس هم کرده‌ام که به این صحبت‌ها مربوط است، ولی از سرعتی که stream of thought ام دارد می‌کاهد. بنابراین من فعلا این موضوع را موکول به بعد می‌کنم مگر این‌که احتیاج شود. ما به فضای مدولی و خم‌های جبری منظر های مختلف داریم. ما به عدد منظر‌های مختلف داریم. ما به حسابان منظرهای مختلف داریم. یکی تئوری است، یکی آبجکت است و یکی مفهوم است، ولی همه ی آن‌ها به عربی شیء هستند. ما به هر کدام از این‌ها منظرهای مختلفی داریم و این‌ها را زبان می‌نامیم، البته زبان‌های ریاضی. ما در زبان‌های طبیعی هم منظرهای مختلف به انسان داریم. انسان‌شناسی‌ای که زبان فارسی حمل می‌کند، با انسان‌شناسی‌ای که عبری و عربی حمل می‌کنند، که شاید یکی باشند، یا با انسان‌شناسی‌ای که زبان ترکی حمل می‌کند، و یا با انسان‌شناسی‌ای که زبان های لاتین حمل می‌کنند، یا با انسان شناسی که سانسکریت حمل می‌کند، یا با انسان شناسی که زبان چینی حمل می‌کند، همه با هم فرق دارند. و من اگر بتوانم یک سری آدم هایی که به این زبان‌ها صحبت می‌کنند، پیدا کنم و با آن‌ها صحبت کنم، حتما می‌توانم فرق‌های خیلی خوبی بیرون بکشم. من خیلی علاقه‌مندم دوست‌هایی پیدا کنم تا ببینم آیا انسان‌شناسی ترکی آذری با ترکی عثمانی فرق می‌کند یا خیر؟ انسان‌شناسی ترکی با لُری آیا فرق می‌کند یا خیر؟ و مانند این. بعد از این مثالی که دکتر اکبرطباطبایی زدند، به نظر من کلمه‌ی به‌تر به جای منظر شاید کلمه‌ی هویت باشد. اعداد هویت‌های مختلف دارند. کاردینال‌ها و اوردینال‌ها دو هویت اعداد طبیعی هستند. Moduli space خم‌های جبری چند هویت دارد. تئوری حسابان چند هویت دارد. مثلا یکی از آن‌ها ایتو است، یکی از آن‌ها non-standard analysis است، یکی از آن ها taylor towers است. یکی دیگر category theory است. یکی از آن‌ها لایبنیتز است و یکی از آن‌ها نیوتون است. هویت‌های مختلفی دارند و این هویت‌ها هستند که زبان‌های مختلف را می‌سازند. دارند راجع به یک چیز صحبت می‌کنند. مثلا در زبان‌های طبیعی، این چیز انسان است و در طبیعت، این چیز جهان خلقت است، یا در زبان‌های ریاضی، این چیز اشیاء ریاضی، تئوری‌ها یا ساختارهای ریاضی یا مفاهیم ریاضی هستند. این کلمه‌ی هویت کلمه کلیدی‌ای است و به نظرم این‌طور می‌آید که اگر این طور نگاه کنیم، diversity زبان‌ها با diversity هویت‌هایی که در ریاضی ظاهر می‌شوند، نسبت به یک موضوع مشترک، کاملا قابل مقایسه است. حالا من تا این‌جا قانع شدم و جواب سوالم را گرفتم، ولی خودم را هم می شناسم، من خیلی زود قانع می‌شوم. خیلی زود به یک فکر می‌گویم: همین باشد، خوب است، و دیگر این جواب کار می‌کند. ولی شما همه از من نقادتر هستید، بنابراین لطف کنید contribute  کنید، و بگویید چرا هنوز این مقداری که من به آن رضایت پیدا کردم، کافی نیست و دقت لازم را ندارد. چه نکاتی باید به آن اضافه شود، چرا مساله هنوز حل نشده است، و مانند این‌ها، و سهم خودتان را ایفا کنید. سهم خودتان را وسط بگذارید. Contribution خودتان را انجام دهید. به نظرم می‌رسد تا اینجا که سهمم این‌قدر بیشتر نیست، و دیگر بیشتر نمی فهمم.

سامان فرحت- نگاهی به فلسفه‌های بودن و شدن‌: بحث به جای جالبی رسید که در مورد اشیاء صحبت کردند دکتر رستگار و این‌که هر شیئی می‌تواند هویت‌های مختلفی داشته باشد و هویت‌های متفاوت هم متناظر می‌شوند یک‌جورهایی با زبان، ولی قبل از این‌که، یعنی هر هویتی که از هر شیئی که داریم صحبت می‌کنیم، ماهیتش هم خیلی مهم می‌شود و زبان به نظرم بیشتر از خود هویته. در واقع راه ارتباط بین دو تا شیئ هست و این راه ارتباط هم، از آن‌جایی که ذاتا راه ارتباط هم شدن می‌توانند باشند هم بودن، راه ارتباط هم، راستش الان که بحث ما این است که شیء دوم که آن شناسنده هست، در واقع چون خود انسان است، و انسان هم حقیقت جامعه یا کون جامع آن دومی است واقعا و می‌توانیم برای همه این بحث‌ها ثابت در نظرش بگیریم، ولی می‌خواهم بگویم که آن شیء یک زبان اظهار دارد که خودش را اظهار بکند، یک زبان شناخت هم دارد. یا بهتر بگویم، مثلا راجع به انسان‌ها، همین انسان‌شناسی را هم در نظر بگیریم، روابط دو نفر که خودش از جنس شدن است، آن یک نوعی اظهار است، از یک جور دیگری هم، وقتی که به ادبیات مراجعه می‌کنیم، و به اساطیر و به نوشتار، اصلا خیلی کلی، آن از جنس بودن است و هر دو این‌ها هست. همان زبان حالی که در نظر می‌گیریم شاید زبان شدن باشد، و این‌که این از دید خود آن شیء هم، یعنی خود شیء هم دو تا جنبه دارد دیگر، هم می‌خواهد خودش را اظهار کند، هم می‌خواهد به بقیه بشناساند، هم می‌خواهد که تشخیص‌های مختلف خودش که، مثلا یک شیئ ریاضی در نظر بگیریم. دو تا تشخص به وجود می‌آید. دو تا instance شناختی توی ذهن  دو نفری که از آن اطلاع پیدا می‌کنند، به وجود می‌آید، که باعث می‌شود شناخت از خودش هم بیشتر بشود. یعنی یکی می‌خواهد خودش را بشناسد و یکی هم می‌خواهد که اظهار کند. زبان بشری را هم در نظر بگیریم همین هست دیگر، حالا اما به یک طریقی خودشان را اظهار می‌کنند، از آن سمت به سمت معرفت هم می‌روند، یا این‌که خودشان را بیشتر بشناسند. هر دو این‌ها هست. این دوگانه هست، یعنی راجع به کثرت زبان بشری، اصلا راجع به کثرت صحبت می‌کنیم، دوگانه به نظر می‌آید که خود به خود ظاهر می‌شود، و حالا ربطش به بحث چیست؟ یکی این‌که اصلا موسیقی خودش انگار بیان خودش است، یعنی خودش دارد خودش را اظهار می‌کند، و اصلا آن زبان حالش زبان شدنه. برعکسِ ریاضی که زبان حالش زبان بودن است، راجع به یک سری بودن‌ها دارد صحبت می‌کند، و خوب شناختش هم می‌شود نقطه مقابلش. یعنی شناخت موسیقی، انگار آن تئوری پردازیش و این‌ها در آن عالم مقابلش است و برای همین هم هست که این دو تا شاید ماهیتشون فرق می‌کند، یعنی این‌که موسیقی اصلا از عالم شدن، خودش زبان حالش است، می‌خواهد که آدم را ببرد به عالمی که جمع‌تر هست، می‌خواهد جمع بکند. ریاضی برعکس، یکسری مفاهیمی که در عالم جمع وجود دارند را می‌خواهد بیاورد و بسطشان بدهد توی عالم طبیعت، توی همین نوشتار می‌خواهد بسطشان بدهد، و این دو تا ذاتا فرق می‌کنند دیگر. موسیقی اصلا می‌خواهد جمع کند، و ریاضی می‌خواهد بسط بدهد، می‌خواهد که گسترش بدهد مفاهیمی که در عالم جمع هستند را. یک چیزی از دکتر محمودیان یادم می‌آید. می‌گفتند که یک سری آرتیست یک سری آمده بودند در دانشکده ریاضی، یک سری خم‌هایی هم روی تخته‌ها دیده بودند. بعد گفته بودند این‌ها را که ما می‌بینیم یاد زلف یار می‌افتیم. از آن طرف مثل این‌که گفته بودند، حالا آن اساتید ریاضی هم گفته بودند، ما برعکسیم، ما زلف یار را می‌بینیم یاد این خم‌ها می‌افتیم. حالا واقعیتش هم همین است دیگر، یعنی واقعا یک کمی حرف عمیقی است. یک دفعه با دوست روسیم داشتم صحبت می‌کردم، می‌گفتم ریاضی و موسیقی واقعا یک چیز هستند. واقعا در گیر تئوری موسیقی بودم. او عصبانی می‌شد. می‌گفت: نه واقعا، موسیقی مثل فوتبال می‌ماند. پاهایش را نشان داد با حالت شوت زدن، می‌گفت که موسیقی مثل skill بدست آوردن است، و آن موقع، آن حرف هم شاید درست باشد واقعا، مدل بیان کردنش از جنس دست است، از جنس تکنیک است، کلا هنر یک چیزی است، یک جمله از داوینچی هست که جایی که روح با دست کار نکند هنر نیست، و این‌جا شاید آن صورت است که داریم در عالم ریاضی از آن صحبت می‌کنیم، شاید یک مفهوم از یک طرف خیلی باطنی باشد، از یک طرف خیلی ظاهری باشد، یعنی مثل هستی. هستی، الان ما خیلی راحت می‌توانیم بگوییم یک کتابی که جلوی ما هست، بردارندش، می‌توانیم بگوییم نیست، یا بگوییم، دوباره بگذارندش می‌گوییم هست. خیلی برای ما ملموس است. اما از آن طرف، اگر بگویند هستی کنهش چیست، خوب مشهودترین چیز است دیگر از این نظر. واقعا خیلی سخت است شناختنش. از یک طرف خیلی برای ما مجهول از یک طرف خیلی معلوم است، خیلی ملموس است، یا همان مفهوم نور، اول که از دکتر رستگار شنیدم، با مفهوم مادر، واقعا این دو تا در دو سر طیف قرار دارند که یکی را آدم چشیده لمس کرده، یکی واقعا خیلی مجهول هست، و یا اصلا این ظهور خیلی چیزهای باطنی در حروف ابجد که خیلی ظاهره. واقعا شاید در مفهوم، این دوتا با هم فرق نداشته باشند، یک چیز باشند. حالا ربطش به حرفم چه بود؟ این‌که این بازی کردن با اشکال، یا حالا فکر کردن در مورد فرم‌ها یا صورت ها در عالم بالا، این دوتا شاید خیلی فرقی نداشته باشند، بستگی دارد در چه کانتکستی داریم صحبت می‌کنیم، در هنر شاید واقعا همان جهت باشد، یعنی جهتی باشد که بیشتر بازی با اشکال باشد، و اصلا از این‌جا پیشرفت در آن صورت بگیرد، حالا پیشرفت، به همان تعبیری که مد نظر آرتیست‌ها هست، یک جنبش جدیدی به وجود می‌آید، یک مکتب جدیدی به وجود می‌آید. در موسیقی این را می‌شناسم، و در معماری هم مثال‌هایی از خانم شیرخانی شنیده‌ام، و حتی در ریاضی هم، همین جایی که، چون بالاخره یک وزنه است، تو ریاضی هم که بر عکس، این است که یک کم مثال‌های این طرفیش وجود دارد. چون هندسه هم یک کمی به شهود هم ربط پیدا می‌کند، شاید آن‌جا همین هندسه تحلیلی در آن متولد شد، و آن هم بازی کردن با همان اشکال بود به تعبیری، و می‌گویند دیفورم در هر دوتا کانتکست وجود دارد اینجا، و یعنی هم ظاهر ظاهر، هم باطن باطن، و اینجاست که یک فرقی انگار بین زبان موسیقی و زبان، یا اصلا زبان هنر به یک تعبیری که همین جایی که روح با دست همکاری می‌کند، انگار آرت نیست، هنر نیست. خوب این بعدش همین می‌شود که راه پیشرفتش شاید از همان جا باشد، یعنی راه پیدا کردن معادلی یا شناخت بیشترش از همان جایی باشد که دارد قوی‌تر عمل می‌کند، که آن هم ظاهر است واقعا و این ربط، ربط که نمی‌شود، ربط بسیار قوی‌ای با باطن دارد، برعکس علوم عقلی که از آن سمت است، یعنی فرم جای دیگری است و این دوتا هم یک چیز هستند واقعا، و این‌که ربطش را به زبان بشری، یعنی این‌که یک شیء را بخواهیم بشناسیم، این شیء خیلی راه‌های مختلفی دارد، یا هویت‌های مختلفش یک چیز می‌شوند و این‌ هم الان دیگر برایمان واضح است، ولی این کثرت پیدا کرده، شاید یک کم از این پیچیده‌تر باشد، یعنی این به همین دوگان ربط پیدا بکند، تو زبان بشری واقعا شدن وجود دارد، اینترکشن بین آدم‌هاست از آن‌طرف. خوب زبان نوشتار شعر داریم، ادبیات داریم، قصیده داریم، غزل داریم، نثر داریم، این‌ها خوب هر کدام یک نوعی از کثرت است دیگر، و انگار این فرکانس این‌طرف خیلی بیشتر است. یعنی خیلی از بین شدن و بودن، یا مدل‌های مختلفی که می‌شود به زبان فکر کرد، تو زبان بشری این تنها حرکت بینابینی خیلی زیاد بوده است. همه آدم‌ها که اینترکشن دارند، از آن طرف، این مدل نوشتاری هم پیشرفت کرده بود، این فرمول‌بندی‌ها به‌تر می‌شده، مدل‌های مختلف در می‌آمده، این دو تا به هم کمک می‌کردند و این باعث می‌شده یک چیزهایی به طور موضعی شکل گرفته، و کثرت این‌ها خیلی زیاد است. دیگر در مورد بقیه، در ریاضی و هنر و این‌ها نمی‌خواهم صحبت بکنم، منتها فقط این را گفتم که بگویم انگار یک حلقه‌ای هنوز گمشده است دیگر، هنوز بحث کامل نیست. یعنی قانع نمی‌شوم که کامل شده. سعی کردم چرا قانع نشده را یک‌جور بگویم. امیدوارم یک کمی کمک کرده باشم.

آرش رستگار- صحبت پایانی:

یک چیزهایی که فهمیدم این بود که بودن و شدن، همان در این مسئله زبان‌ها آوردن، هم در ارتباط فرم و صورت با ساختار در آوردن، دو تا چیز من یاد گرفتم که من معمولا هر چیزی از هرکسی یاد می گیرم فکر می‌کنم خودم درست کردم، بعد آن طرف می‌گوید: ای بابا من همین الان به شما گفتم، بعد من می‌گویم ای بابا، شما راس می‌گویید، همین را می‌گفتید، بعد می‌گوید: آره بابا پس چه داشتم می‌گفتم. خلاصه این‌که خودم را صاحب این ایده‌ها نمی‌دانم، ولی یاد گرفتم این‌ها را. یکی این‌که آن کلمه شکل و شاکله و نگاه کل نگرانه که ما به فرم و صورت و رسم داشتیم و در بحث‌های قبلی بود الان کامل‌تر شد، و آن، یعنی شاکله و حرکت شاکله، مثل یک عکس از این عکس‌های موبایل را دیده‌اید؟ عکس می‌گیرد، ولی یک ذره تکان می‌خورد. آن یک ذره تکان می‌شود یک حدی که در همان مفهوم رسم هست، می‌گوید از کجا تا کجا. شاکله هست ولی شاکله در بستر یک تغییری است، ولی حالا به نظر من در نظریه رسته‌ها، من همین را، شاید الآن در ذهنم شکل می‌گیرد که اعتراضی داشتم. کل نگرانه هست، ارتباطی هست، شاکله هست، ولی حرکت شاکله نیست. برای همین خیلی زمینی است، اصلا ساختار است. حالا درباره مفهوم صورت دکتر اکبرطباطبایی که تخصصشان نظریه رسته‌ها و ریاضیات ساختنی هست، یک حرف‌های پیچیده‌ای دارهندکه الان می‌توانند با کلمات کلیدی حرکت شاکله، با نگاه کل نگرانه که در آن حرکت هست، یا اعتراض کنند یا حرف‌هایشان را بازسازی کنند، یا هر کاری که دوست دارند. این یک. و این‌که چیز های خیلی خیلی باطنی، خیلی خیلی در ظاهر خودشان را نشان می‌دهند، من را یاد چند تا چیز انداخت. یکی مفهوم اعتباریاتی که دکتر نریمان راجع به نظریات علامه طباطبایی برای ما می‌گفتند. یک ‌جور دیگه می‌گفتند چقدر این‌ها بازی هستند، و من می‌دیدم چقدر این‌ها صورت هستند، یعنی بالاتر از ساختارند، بالاتر از حقیقت اسمائند همین اعتباریات. که البته دفعه قبل این را ادامه ندادیم. با این احساس من همدلی نداشتند دکتر نریمان، ولی گفتند این را می‌گذارم یک گوشه‌ای خیس بخورد تا بعداً ببینم شاید با آن هم‌دل‌تر شدم، ولی باز یک جور دیگری که من برخورد داشتم با این حرف جناب فرحت، این بود که من این دریافت را داشتم که ازل و ابد یک چیز هستند، یک قوسی ما را از ازل می‌آورد پایین، بعد به ابد وصل می‌کند. این‌ها یک دنیا هستند. این قوس باعث می‌شود آن دنیا حرکت بوجود بیاید، یا حرکت را سریع کند، در آن عالم حرکت کند است، حالا به معنایی که در عالم ما سریع است، به همین معنی، اول همان آخر است، و به همین معنی، ظاهر همان باطن است، حالا اگر کسی حضور ذهن نداشته باشه که همه دارن، به آیه «هُوَ الأَوَّلُ وَالآخِرُ وَالظَّاهِرُ وَالْبَاطِنُ وَهُوَ بِكُلِّ شَيْءٍ عَلِيمٌ» [الحديد:3] دارم اشاره می‌کنم. یعنی می‌گوید ته ته باطن، ظاهر است، و ته ته آخر، اول است. و من تجربیات شناختی این‌طوری، که این طوری ببینم عالم را هم داشته‌ام، و به نظر من، باز دوباره اقناع خیلی خوبی وجود دارد، از چیزهایی که یاد گرفتم قانع شدم، راضی شدم، ولی دیگر ادامه با شماست. هر کسی می‌خواهد اضافه کند به بحث، اضافه کند. وگرنه من کفایت مذاکرات را اعلام می‌کنم.

 

دانلود